Respostas
A alternativa que traz um triângulo cujo ortocentro e circuncentro estão em seu interior é a alternativa C, triângulo de lados 7, 5 e 6.
Para chegar a essa resposta é importante entender como se relacionam os ortocentros e circuncentros com os triângulos.
Ortocentro e Circuncentro
- Se o triângulo for acutângulo (todos os seus ângulos internos menores que 90°), então o circuncentro e o ortocentro estarão no seu interior.
- Se o triângulo for obtusângulo (um dos seus ângulos internos com medida maior que 90°), então o circuncentro e o ortocentro estarão no seu exterior.
- Se o triângulo for retângulo (um dos seus ângulos internos com medida igual a 90°), o circuncentro é o ponto médio da hipotenusa e o ortocentro é o vértice do triângulo, que possui o ângulo de 90°.
Adicionalmente, para responder a questão deve-se saber como classificar um triângulo com base no valor de seus lados.
Classificação de triângulos
- Um triângulo é retângulo se o quadrado do seu lado maior for igual a soma dos quadrados dos seus lados menores.
- Um triângulo é acutângulo se o quadrado do seu lado maior for menor a soma dos quadrados dos seus lados menores.
- Um triângulo é obtusângulo se o quadrado do seu lado maior for maior a soma dos quadrados dos seus lados menores.
Com base nessas informações, basta analisar cada um dos triângulos formados nas alternativas dadas, sabendo que estamos procurando um triângulo acutângulo:
a) 5, 12 e 13
13² < 12² + 5² ---> 169 < 169 FALSO. NÃO É ACUTÂNGULO!
b) 10, 7 e 6
É obtuso? 10² < 7² + 6² ---> 100 < 85 FALSO. NÃO É ACUTÂNGULO!
c) 7, 5 e 6
7² < 5² + 6² ---> 49 < 61 VERDADEIRO
É ACUTÂNGULO! logo o circumcentro e o ortocentro estão no seu interior.
A resposta correta é a letra C.
d) 11, 8 e 5
É retângulo? 11² < 8² + 5² ---> 121 < 89 FALSO. NÃO É ACUTÂNGULO!
e) 3, 4 e 5
É retângulo? 5² < 4² + 3² ---> 25 < 25 FALSO. NÃO É ACUTÂNGULO!
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