uma estrutura de polias ligadas por cordas estava disposta da seguinte forma:

uma pessoa, para descobrir o raio da polia menor, dispunha de uma caneta, que utilizou para marcar os pontos A e B nas polias, e de um equipamento pré-calibrado com um ângulo de π/4 rad. Para a medição, ela fez com que a circunferência maior girasse um ângulo de π/4 rad e, com isso, o ponto B se moveu, sem completar uma volta, até ficar diametralmente oposto ao ponto inicial B
De acordo com essas informações e sabendo que o raio da polia maior mede 20cm, determine:

a) O comprimento percorrido pelo ponto A
b) O comprimento percorrido pelo ponto B
c) O raio da circunferência menor.

Anexos:

Respostas

respondido por: hugocampelo1

Através dos estudos acerca das polias, encontramos as seguintes respostas:

a) O comprimento percorrido pelo ponto A foi de 5π cm.

b) O comprimento percorrido pelo ponto B foi de 5π cm.

c) O Raio da circunferência menor é 5 cm.

Polias

São máquinas utilizadas para reduzir o esforço necessário para movimentar certos objetos. Duas ou mais polias de diferentes diâmetros podem ser relacionadas por meio de cordas, sendo uma a polia motora e as demais serão as polias movidas.

Da associação entre duas polias, temos que durante o giro, o comprimento percorrido por ambas será igual. Além disso, elas se relacionam pela equação n1/n2 = D2/D1, onde:

n1=rotação da polia motora.
n2=rotação da polia movida.
D2=diâmetro da polia movida.
D1=diâmetro da polia motora.

Na situação-problema, nos é informado que:

A polia maior tem um raio de 20 cm.
A polia maior girou num ângulo de π/4 (45º).
Após o movimento da polia maior, o ponto B na polia menor se moveu até ficar diametralmente oposto ao ponto inicial, logo entendemos que o ponto B percorreu π (180º).

a) Como as polias correspondem a circunferências de 360º, se a polia maior percorreu o correspondente a π/4 (45º), significa que ela se moveu 1/8 de 360º. Portanto, podemos escrever:

C=1/8*2πr

C=1/8*2*20*π

C=40/8*π

C=5π

b) Desta forma, sabendo que as duas polias estão associadas por uma corda e que o comprimento percorrido por ambas durante o movimento será igual, temos que o comprimento percorrido pela polia menor é 5π.

c) O raio de circunferência menor pode ser calculado através da relação n1/n2=D2/D1, onde:

n1/n2=D2/D1

(π/4)/π=D2/40

π/4*1/π=D2/40

1/4=D2/40

D2=40/4

D2=10 cm

Como o raio corresponde a metade do diâmetro, podemos escrever:

r=D2/2

r=10/2

r=5 cm

Assim, concluímos que o raio da circunferência menor é 5 cm.