Question

Exercicio de limites

Answer 1

$\:\:\:\:\:\:\:\: \: \: \: \: \: \: \boxed{ \sf 0 \leqslant \lim_{x \to0} x {}^{4} . \cos \left( \frac{2}{x} \right) \leqslant 0}$

Explicação

Temos o seguinte limite:

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \bullet \: \: \: \sf \lim_{x \to 0}x {}^{4} \cdot \cos \left( \frac{2}{x} \right)$

Primeiramente vamos substituir o valor a qual o x tende e observar o resultado disto.

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \sf 0 {}^{4} . \cos \left( \frac{2}{0} \right) = 0. \nexists$

Observe que resultou em uma indeterminação. A regra de L'Hôpital neste caso não será aplicável, já que só é possível qual o limite resulta em indeterminações do tipo 0/0 ou infinito/infinito.

A única opção que nos resta é ultilizar o Teorema do Confronto, que calcula o valor do limite indiretamente. Como sabemos o cosseno de qualquer expressão deve sempre possuir o valor limitado a -1 e 1, portanto:

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: - 1 \leqslant \sf \cos \left( \frac{2}{x} \right) \leqslant 1$

Para deixar análogo a expressão que temos, vamos multiplicar todos os termos por x⁴:

$\: \: \: \: \: \sf - 1.x {}^{4} \leqslant x{}^{4} .\cos \left( \frac{2}{x} \right) \leqslant 1.x {}^{4} \\ \\ \: \: \: \: \: \sf - x {}^{4} \leqslant x {}^{4} \cos \left( \frac{2}{x} \right) \leqslant x {}^{4}$

Aplicando o limite tendendo a 0 em todos os termos:

$\sf \lim_{x \to0}( - x {}^{4} ) \leqslant\lim_{x \to0} x {}^{4} . \cos \left( \frac{2}{x} \right) \leqslant \lim_{x \to0}(x {}^{4} ) \\ \\ \sf - 0 {}^{4} \leqslant \lim_{x \to0} x {}^{4} . \cos \left( \frac{2}{x} \right) \leqslant 0 {}^{4} \\ \\ \sf 0 \leqslant \lim_{x \to0} x {}^{4} . \cos \left( \frac{2}{x} \right) \leqslant 0$

Com isso, podemos observar que o único possível resultado para este limite é 0, já que as funções adjacentes são 0 e não tem como o limite central variar deste valor.

Espero ter ajudado