Question

Calcule a seguinte integral: ∫x³cos(2x²)dx.

Answer 1

Resposta:

$\int x^3\ cos(2x^2)\ dx=\frac{1}{4}(x^2sen(2x^2)+\frac{1}{2}cos(2x^2))+C$

Explicação passo a passo:

Por substituição,

$\int x^2cos(2x^2)x \ dx\\t=x^2, \ \frac{dt}{2} =x \ dx\\\frac{1}{2} \int t\ cos(2t)\ dt$

Integrando agora por partes,

$u=t ,\ du=dt\\dv=cos(2t), \ v=\frac{sen(2t)}{2}$

$\frac{1}{2} \int t\ cos(2t)\ dt=\frac{1}{2}(t\frac{sen(2t)}{2}-\frac{1}{2} \int sen(2t)\ dt)=\frac{1}{2}(t\frac{sen(2t)}{2}+\frac{1}{4}cos(2t))+C$

Voltando para x,

$\frac{1}{2}(x^2\frac{sen(2x^2)}{2}+\frac{1}{4}cos(2x^2))+C=\frac{1}{4}(x^2sen(2x^2)+\frac{1}{2}cos(2x^2))+C$