Question

A sequência é uma P. G, determine o valor de X: (1/2; log de x na base 0,25 ;8)

Answer 1

De acordo com os dados do enunciado e realizados concluímos que o valor de

$\large \displaystyle \text { \mathsf{ x = \dfrac{1}{16} } }$

A progressão geométrica (P.G) qualquer sequência de números reais ou complexos, onde cada termo a partir do segundo é igual ao anterior, multiplicado por uma constante denominada razão q.

Exemplo:

A sequencia definida ( 6, 54, 162, 486 ).

$\large \displaystyle \text { \mathsf{ q = 3 = \dfrac{18}{6} = \dfrac{54}{18} = \dfrac{162}{54} = \dfrac{486}{162} } }$

Dados fornecidos pelo enunciado:

$\large \displaystyle \text { \mathsf{ \begin{cases} \sf a_1 = \dfrac{1}{2} \\ \\\sf a_2 = \log_{0{,}25} \: x \quad (com~ x > 0 ) \\ \\\sf a_3 = 8 \end{cases} } }$

Aplicando a definição progressão geométrica, temos:

$\large \displaystyle \text { \mathsf{ \dfrac{a_2}{a_1} = \dfrac{a_3}{a_2} } }$

$\large \displaystyle \mathsf{ a_2 \cdot a_2 = a_1 \cdot a_3 }$

$\large \displaystyle \mathsf{\left( a_2 \right)^2 = a_1 \cdot a_3 }$

$\large \displaystyle \text { \mathsf{\left( \log_{0{,}25} \: x \right)^2 = \dfrac{1}{2} \cdot 8 } }$

$\large \displaystyle \text { \mathsf{\left( \log_{0{,}25} \: x \right)^2 = \dfrac{8}{2} } }$

$\large \displaystyle \text { \mathsf{\left( \log_{0{,}25} \: x \right)^2 = 4 } }$

$\large \displaystyle \text { \mathsf{ log_{0{,}25} \: x = \sqrt{4} } }$

$\large \displaystyle \text { \mathsf{ log_{\:\frac{25}{100} } \: x = 2 } }$

$\large \displaystyle \text { \mathsf{ log_{\:\frac{1}{4} } \: x = 2 } }$

$\large \displaystyle \text { \mathsf{ x = \left( \dfrac{1}{4} \right)^2 } }$

$\large \boldsymbol{ \displaystyle \sf x = \dfrac{1}{16} }$

Determinar $\textstyle \sf \sf a_2$:

$\large \displaystyle \text { \mathsf{ \log_{0{,}25} \: x } }$

$\large \displaystyle \text { \mathsf{ \log_{0{,}25} \: \frac{1}{16} = y } }$

$\large \displaystyle \text { \mathsf{ \left( \dfrac{1}{4} \right)^y = \dfrac{1}{16} } }$

$\large \displaystyle \text { \mathsf{ \left( \dfrac{1}{4} \right)^y = \left(\dfrac{1}{4}\right)^2 } }$

$\large \boldsymbol{ \displaystyle \sf y = 2 }$

$\large \displaystyle \text { \mathsf{a_3 = \log_{0{,}25} \: x = 2 } }$

$\large \displaystyle \text { \mathsf{ Logo, a ~P . G ~ \left( \dfrac{1}{2} , \:2, \: 8 \right). } }$

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