Question

Calcule a integral da linha ∫c(1+xy).ds onde C é a metade superior da circunferencia

Answer 1

Resposta:

$\pi r$

Explicação passo a passo:

Considerando a parametrização em anexo, podemos escrever essa integral da seguinte maneira:

$\int_{c}(1 + xy)\ dS = \int\limits_{0}^{\pi}[1 + (rcos\theta)(rsen\theta)]\ rd\theta\\\\= \int\limits_{0}^{\pi} [r + (r^3cos\theta\cdot sen\theta)]\ d\theta \\= \underbrace{r\int\limits_{0}^{\pi} d\theta}_{I} + \underbrace{r^3\int\limits_{0}^{\pi} cos\theta\cdot sen\theta\ d\theta}_{II}$

A Integral $I$ é trivial,

$I = r\int\limits_{0}^{\pi}d\theta = r\theta\Big|_{0}^{\pi} = r(\pi - 0) = \pi r$

A Integral $II$ vamos resolver da seguinte maneira, façamos:

$cos\theta = u(\theta) \Longrightarrow \dfrac{du}{d\theta} = \dfrac{d(cos\theta)}{d\theta} = -sen\theta\\\\\therefore d\theta = -\dfrac{du}{sen\theta}$

substituindo na integral $II$ temos:

$II = r^3\int\limits_{0}^{\pi}cos\theta\cdot sen\theta\ d\theta = r^3\int\limits_{u(0)}^{u(\pi)} u\cdot sen\theta\ \left(-\dfrac{du}{sen\theta}\right) = -r^3\int\limits_{u(0)}^{u(\pi)} u\ du = -r^3\left[\dfrac{u^2}{2}\right]\limits_{u(0)}^{u(\pi)}$.

Voltando o valor de $u = cos\theta$:

$II = r^3\int\limits_{0}^{\pi}cos\theta\cdot sen\theta\ d\theta = -r^3\left[\dfrac{cos^2\theta}{2}\right]\limits_{0}^{\pi} = -\dfrac{r^3}{2}(cos^2\pi - cos^20)$

• $cos^2\pi = cos\pi\cdot cos\pi = (-1)\cdot(-1) = 1$
• $cos^2 0 = cos0\cdot cos0 = 1\cdot 1 = 1$

$II = r^3\int\limits_{0}^{\pi}cos\theta\cdot sen\theta\ d\theta = \dfrac{r^3}{2}\cdot (1 - 1) = 0$

De posse dos valores $I = \pi r$, e $II = 0$. Temos:

$\underbrace{r\int\limits_{0}^{\pi} d\theta}_{I} + \underbrace{r^3\int\limits_{0}^{\pi} cos\theta\cdot sen\theta\ d\theta}_{II} = \pi r+ 0 = \pi r$