Question

Em uma progressão geométrica, o 3º termo é 1 e o 12º é 512. Qual o valor do 8º termo dessa progressão?
A) 26
B) 32
C) 48
D) 96
E) 128

Answer 1

Resposta:

B ) 32  

Explicação:

Para chegar ao resultado necessitamos de obter o Termo Geral da

progressão geométrica.

Fórmula de Termo Geral  ( $a_{n}$ ) de P.G.

$a_{n}=a_{1} *q^{n-1}$

$a_{n}$ = termo geral

a1  = 1º termo

q = razão

Vou montar um sistema de duas equações com a informação dada :

$a_{3}=1$            $a_{12}=512$

{  $1=a_{1} *q^{3-1}$

{ $512=a_{1} *q^{12-1}$

⇔

{ $1=a_{1} *q^{2}$

{ $512=a_{1} *q^{11}$

Resolver a 1ª equação em ordem a $a_{1}$

$\dfrac{1}{q^2} =a_{1}$

$512=\dfrac{1}{q^2} *q^{11}=\dfrac{q^{11} }{q^2} =q^{11-2} =q^9$

Decompor em fatores primos o 512

512  | 2                 $512=2^9$

256 | 2

128  | 2

 64 | 2

 32 | 2

  16 | 2

    8 | 2

    4 | 2

    2 | 2

    1

⇔

$\dfrac{1}{q^2} =a_{1}$

$2^9=q^9$

Na segunda equação temos uma igualdade de potências com o mesmo

expoente.

Elas  são iguais entre si quando as bases também forem iguais

⇔

$\dfrac{1}{2^2} =a_{1}$

$2=q$

⇔

$a_{1}=\dfrac{1}{4}$

$q=2$

Estamos em condições de calcular o oitavo termo a partir do termo geral

$a_{8}=\dfrac{1}{4} *2^{8-1}$

$a_{8}=\dfrac{1}{4} *2^{7}$

$a_{8}=\dfrac{2^7}{2^2}$

$a_{8}=2^{(7-2)}$

$a_{8}=2^{5}=32$       logo  B)

Observação 1 → Razão ( q ) na Progressão Geométrica

Consiste em dividir um dado termo pelo termo anterior.

Bons estudos.

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( * ) multiplicação          ( | ) divisão           ( ⇔ )  equivalente a

Nas minhas respostas mostro e explico os passos dados na resolução,

para que o usuário seja capaz de aprender e depois fazer, por ele, em

casos idênticos.

O que eu sei, eu ensino.