Question

Qual a área da região em destaque abaixo?[Dica: encontre as equações das retas que delimitam a região e calcule a área através da soma de integrais, observando as desigualdades das funções (retas e função y=1/x) em cada intervalo]

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Answer 1

$\large\boxed{A_t = \ln(2) \: u.a}$

Explicação:

Para calcular a área hachurada, devemos fazer uma soma de duas áreas, pois como pode ser visto pela imagem cada área depende de funções diferentes, sendo a área azul limitada pelas retas e a área laranja pela reta e a função.

• Retas:

Como será necessário a equação das retas, vamos iniciar por este cálculo. Observando o gráfico, podemos ver que ambas as retas partem da origem e terminam em pontos distintos, que são mostrados no enunciado.

$\begin{cases}r : \: P _1 (0,0) \: \: e \: \: P_2(1,1) \\ s : \: P_1 (0,0) \: \: e \: \: P_2 \left(2,\frac{1}{2}\right) \end{cases}$

• Onde a reta (r) é a superior e (s) a inferior.

Dois pontos são mais que suficientes para gerar uma reta. Primeiro vamos calcular o coeficiente angular de cada uma delas.

$m_{r} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \: \to \: m_{r} = \frac{1 - 0}{1 - 0} \: \to \: \: m_{r} = 1 \\ \\ m_{s} = \frac{y_2 - y_1}{y_2 - y_1} \: \to \: m_{s} = \frac{ \frac{1}{2} - 0}{2 - 0} \: \to \: m_{s} = \frac{1}{4}$

Agora basta substituir estes dados e um ponto que seja conhecido de ambas as retas na equação fundamental da reta.

$r : y - y _1 = m_{r}.(x - x_{1}) \: \: \bigg | \: \: s : y - y _1 = m_{s}.(x - x_{1}) \: \\ r : y - 0 = 1.(x - 0) \: \: \bigg| \: \: s : y - 0 = \frac{1}{4}.(x - 0) \\ r : \: y = x \: \: \bigg| \: \:s : \: y = \frac{x}{4}$

• Limites de integração:

Pelo gráfico, podemos retirar os seguintes dados:

$\ast \: \: Regi\tilde{a}o_{azul} = \{x/ \: 0 \leqslant x \leqslant 1\} \: \: \: \: \: \\ \ast \: \: Regi\tilde{a}o_{laranja} = \{x/ \: 1\leqslant x \leqslant 2 \}$

Além destas informações, podemos ver que a Região azul é limitada pelas retas r e s: $y=x\:\:e\:\:y=\frac{1}{4}$ e a Região laranja é limitada pela função e a reta s: $y=\frac{1}{x}\:\:e\:\:y=\frac{1}{4}$.

• Integração:

Tendo todos estes dados, podemos partir para a integração em si. Como havia dito, a área total é dada pela soma da área azul com a área laranja.

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: A_t = A_{azul} + A_{laranja}$

Substituindo as informações encontradas:

$\: A_t = \int_{0}^{1}f(x)dx+ \int_{1}^{2}g(x)dx$

A função f(x) representa a área formada entre as retas r e s, para encontrá-la, basta fazer a subtração da função superior pela inferior, assim como a função g(x), também é dada por esta subtração de funções.

$A_t = \int_{0}^{1}f(x)_{sup} - f(x)_{inf} \: dx+ \int_{1}^{2}g(x)_{sup} - g(x)_{inf} \: dx$

Analisando o gráfico qual a função superior e inferior, ficamos com:

$A_t = \int_{0}^{1}x - \frac{x}{4} dx+ \int_{1}^{2} \frac{1}{x} - \frac{x}{4} dx \\ \\ A_t = \left[ \frac{x {}^{2} }{2} - \frac{x {}^{2} }{8} \right] \bigg| _{0}^{1} +\left[ \ln( |x| ) - \frac{x {}^{2} }{8} \right] \bigg| _{1}^{2} \\ \\ A_t = \frac{1}{2} - \frac{1}{8} + \ln( |2| ) - \frac{2 {}^{2} }{8} - \cancel{\ln( |1| )} + \frac{1 {}^{2} }{8} \\ \\ A_t = \frac{3}{8} + \ln(2) -\frac{3}{8} \: \: \to \: \: \boxed{A_t = \ln(2) \: u.a}$

Portanto esta é a RESPOSTA.

Espero ter ajudado

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Answer 2

A área da região em destaque é 0,69315 u.a.

• Observe na figura anexa que o triângulo OAC é congruente ao triângulo EDC, podemos então transferir sua área preenchendo o triângulo OAF.
• A área do triângulo OAF é a mesma do retângulo ABED, podemos então transferir sua área para o local do retângulo.

• Devido à simplicidade dos cálculos das áreas dos triângulos e do retângulo e da congruência, vou omití-los.

• Consequentemente a área (A) desejada é igual à área delimitada pela função, o eixo x e as retas x = 1 e x = 2 e pode ser determinada pela integral:

$\Large \text { \sf A = \int\limits^2_1 {\dfrac {1}{x}} \, dx }$

$\Large \sf A = \ell n~x~ \vert \limits^{^2}__1$

A = ℓn 2 − ℓn 1 ⟹ ℓn 1 = 0, substitua.

A = ℓn 2

A = 0,69315 u.a.

A área da região em destaque é 0,69315 u.a.

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