Question

Situação 1
Você está cozinhando um ovo, e sabe que a temperatura da água está subindo a uma taxa de r(t)=20e^(-0,1t) graus Celsius por minuto, em que t é o tempo, em minutos. Considerando que a temperatura ambiente, no momento, é de 22oC, você deseja saber se em 6 minutos a água terá entrado em ebulição.
Vamos às dicas:
Para verificar se a água entrou em ebulição, você deverá calcular uma integral definida da função r(t) no intervalo de 0 a 6 minutos, e na sequência somar a temperatura inicial ao resultado. Não se esqueça de demonstrar todos os cálculos.
Considere a temperatura de ebulição da água ao nível do mar (1 atm ou 760 mmHg).

Answer 1

Se a temperatura varia em uma taxa de $20e^{-0.1t}$, então a variação total da temperatura é dada pela integral dessa função entre os intervalos dados.

$\int\limits^6_0 {20e^{-0.1t}} \, dt\\\\ 20\int\limits^6_0 {e^{-0.1t}} \, dt\\\\\\x=-0.1t\\\\dx=-0.1dt\\\\dt=-10dx\\\\\\20\int\limits^6_0 {e^{-0.1t}} \, dt\\\\20\int\limits^{-0.6}_0 {e^x}(-10) \, dx\\\\-200\int\limits^{-0.6}_0 {e^x} \, dx\\\\-200(e^{-0.6}-e^0)\\\\-200(e^{-0.6}-1)=90.237672$

Ou seja, a temperatura variou 90,23ºC, e inicialmente ela já estava a 22ºC. Portanto, sim, a água entrou em ebulição.