Question

Se $x$ e $y$ são números reais tais que $x+y=10$ e $x^3 + y^3 = 400$, determine o valor de $x^2 + y^2$.

Answer 1

Resposta:

x² + y² = 60

Explicação passo a passo:

fatoração: Soma de dois cubos

x³ + y³ = (x + y)(x² - xy + y²) (I)

Dados:

x + y = 10 => y = 10 - x (II)

x³ + y³ = 400

Substituindo os valores dados em (I)

400 = 10 (x² - xy + y²)

x² - xy + y² = 400/10 = 40

x² - xy + y² = 40 (III)

Substituindo (II) em (III):

x² - x(10 - x) + (10 - x)² = 40

x² - 10x + x² + 10² -20x + x² = 40

3x² - 30x + 60 = 0 ÷ (3)

x² - 10x + 20 = 0

Resolvendo:

x' = 5 + √5

x'' = 5 - √5

1a solução:

Substituindo x = x' = 5 + √5 em (II)

y= 10 - (5 + √5 )

y = 10 - 5 - √5

y = 5 - √5

x² + y² = (5 + √5)² + (5 - √5)²

x² + y² = 5² + 10√5 + (√5)² + 5² - 10√5 + (√5)²

x² + y² = 25 + 5 + 25 + 5

x² + y² = 60

2a solução:

Substituindo x = x'' = 5 - √5 em (II)

Desenvolvendo você chega ao mesmo resultado ...