Question

Tentei bastante resolver, mas não consegui

Answer 1

Resposta:

Olá boa tarde!

Primeiro devemos determinar $g^{-1}(x)$ que é a inversa de g(x).

$g(x) = \sqrt{\frac{2x-6}{3x+5} }$

$y = \sqrt{\frac{2x-6}{3x+5} }$

$x = \sqrt{\frac{2y - 6}{3y+5} }$

Elevando os membros ao quadrado:

$x^2 = \frac{2y-6}{3y+5}$

Ajustando a função para colocar em função de x:

2y - 6 = 3x²y + 5x²

2y - 3x²y = 6 + 5x²

y(2 - 3x²) = 6 + 5x²

$y = \frac{6+5x^2}{2-3x^2}$

Logo:

$g^{-1}(x) = \frac{6+x^2}{2-3x^2}$

Agora, determinamos a função composta:  $f[g^{-1}(x)]$

$f[g^{-1}(x)] = \frac{3(\frac{6+x^2}{2-3x^2}) + 5 }{4(\frac{6+x^2}{2-3x^2})-3}$

Desenvolvendo as frações acima:

$f[g^{-1}(x)] =\frac{18+3x^2 + 10 - 15x^2}{24+4x^2 -6+9x^2}$

$f[g^{-1}(x)] = \frac{28+12x^2}{22+15x^2}$

Assim a função $f[g^{-1}(x)]$ acima é a composta da inversa de g(x). Mas a tarefa pede a inversa dessa função acima. Logo:

$y = \frac{28+12x^2}{22+15x^2}$

$x = \frac{28+12y^2}{22+15y^2}$

22x + 15xy² = 28 + 12y²

15xy² + 12y² = 28 - 22x

y²(15x + 12) = 28 - 22x

$y^2 = \frac{28-22x}{15x+12}$

Logo:

$f^{-1}(g^{-1}) = \sqrt{\frac{28-22x}{15x+12} }$  => Resposta

Importante estabelecer o domínio, porque o denominador não pode ser nulo e a raiz deve ser sempre positiva para f(x) estar definida.

15x + 12 > 0

15x > -12

x > - 12/15

28 - 22x > 0

22x < 28

x < 14/11

Dom $f[g^{-1}(x)]$ = x > -12/15  ∪  x < 14/11