Question

(UFSC) Dados os pontos A(-1, -1), B(5, -7) e C(x, 2), determine x sabendo que o ponto C é equidistante dos pontos A e B.

Preciso muito da resposta, por favor me ajudem!

Answer 1

$\large\boxed{\: x = 8}$

Explicação

Temos os seguintes pontos:

$A(-1, -1), \: \: B(5, - 7) \: e \: \: C(x, \: 2)$

Para determinarmos o valor de x, temos que utilizar a informação de que os pontos A e B são equidistantes de C.

• Mas o que quer dizer equidistante neste contexto da questão?

Quer dizer que a distância do ponto A para o ponto C é mesma distância do ponto B para o ponto C, ou seja, desta informação já podemos tirar uma relação: $d_{AC}=d_{BC}$.

Como possuímos os valores dos pontos A, B e C, estamos aptos para calcular a distância entre eles, mais precisamente $d_{AC} \:e \:d_{BC}$.

• Distância entre os pontos:

A fórmula usada neste cálculo será:

$\bullet \: \: d_{A,B}=\sqrt{(x_b-x_a)^2+(y_b-y_a)^2}$

• Distância A para C.

Seguindo a ordem alfabética, vamos iniciar pela distância de A para C.

$\: \: \: \: \: A( \underbrace {- 1}_{x_a} , \underbrace { - 1}_{y_a}) \: \: e \: \: C(\underbrace {x}_{x_c}, \: \underbrace {2}_{y_c})$

Substituindo os dados na fórmula:

$d_{A,C} =\sqrt{(x_c-x_a)^2+(y_c-y_a)^2} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ d_{A,C} = \sqrt{ (x - ( - 1)){}^{2} + (2- ( - 1))^{2} } \: \: \\ d_{A,C} = \sqrt{(x + 1) {}^{2} +3 {}^{2} } \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ d_{A,C} = \sqrt{x {}^{2} + 2x + 10} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

• Distância de B para C:

Assim como fizemos anteriormente, primeiro vamos colher as informações, já que facilita a substituição na fórmula.

$\: \: \: \: \: B(\underbrace {5}_{x_b}, \underbrace {- 7}_{y_b}) \: \: e \: \: C(\underbrace {x}_{x_c}, \: \underbrace {2}_{y_c})$

Substituindo na fórmula:

$d_{B,C} =\sqrt{(x_c-x_b)^2+(y_c-y_b)^2} \\ d_{B,C} = \sqrt{(x - 5) {}^{2} + ( 2 - ( - 7)) {}^{2} } \\ d_{B,C} = \sqrt{(x - 5) {}^{2} + 9 {}^{2} } \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ d_{B,C} = \sqrt{x {}^{2} - 10x + 25 + 81} \: \: \: \: \: \: \\ d_{B,C} = \sqrt{x {}^{2} - 10x + 106 } \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

Tendo encontrando as duas distâncias, basta substituirmos na relação citada no começo da questão $\underline{ d_{AC}=d_{BC}}$.

$\sqrt{x {}^{2} + 2x + 10} = \sqrt{x {}^{2} - 10x + 106}$

Para remover estas raízes, basta elevarmos ambos os lados da equação ao quadrado.

$( \sqrt{x {}^{2} + 2x + 10} ) {}^{2} = (\sqrt{x {}^{2} - 10x + 106}) {}^{2} \\ \\ x {}^{2} + 2x + 10 = x {}^{2} - 10x + 106 \\ \\ x {}^{2} - x {}^{2} + 2x + 10x = 106 - 10 \\ \\ 12x = 96 \: \: \to \: \: x = \frac{96}{12} \: \: \to \: \boxed{\: x = 8}$

Portanto temos que o ponto C é dado por $C(8,2)$.

Espero ter ajudado

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brainly.com.br/tarefa/13135474

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Answer 2

As coordenadas do ponto C é: C(8, 2)

• Se o ponto C equidista dos pontos A e B, então a distância entre C e A é igual à distância entre C e B.

$\large \sf d_{AC} = d_{BC}$

• As distâncias entre os pontos A e C e B e C são obtidas por:

$\large \sf d_{AC}^2 = (x_{C} - x_{A})^2 + (y_{C} - y_{A})^2$

$\large \sf d_{BC}^2 = (x_{C} - x_{B})^2 + (y_{C} - y_{B})^2$

• $\large \text {\sf Se \sf d_{AC} = d_{BC} , ent\~ao \sf d_{AC}^2 = d_{BC}^2. }$

$\large \sf (x_{C} - x_{A})^2 + (y_{C} - y_{A})^2 = (x_{C} - x_{B})^2 + (y_{C} - y_{B})^2 }$

• Substitua os valores.

(x − (−1))² + (2 − (−1))² = (x − 5)² + (2 − (−7))²

(x + 1)² + (2 + 1)² = (x − 5)² + (2 + 7)²

x² + 2x + 1 + 9 = x² − 10x + 25 + 81

x² + 2x + 10 = x² − 10x + 106 ⟹ Subtraia x² de ambos os membros.

2x + 10 = − 10x + 106 ⟹ Some 10x em ambos os membros.

12x + 10 = 106 ⟹ Subtraia 10 de ambos os membros.

12x = 96 ⟹ Divida ambos os membros por 12.

x = 8

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