Question

Resolva o seguinte limite : ​

Answer 1

Através dos cálculos feitos, chegamos a seguinte resposta abaixo:

$\large\lim_{x\to -2} \left[ \frac{(x {}^{3} + 4x {}^{2} + 4x) }{(x + 2).(x - 3)} \right] =0$

Explicação

Temos o seguinte limite:

$\: \: \: \: \: \: \bullet \: \lim_{x\to -2} \left[ \frac{(x {}^{3} + 4x {}^{2} + 4x) }{(x + 2).(x - 3)} \right]$

Primeiro devemos substituir o valor a qual o x tende e observar se obtemos um valor sólido ou uma indeterminação.

$\lim_{x\to -2} \frac{( - 2) {}^{3} + 4( - 2) {}^{2} + 4.( - 2)}{( - 2 + 2).( - 2 - 3) } \: \to \:\lim_{x\to -2} \frac{0}{0}$

O resultado da substituição gerou uma indeterminação do tipo 0/0, então vamos usar alguma saída algébrica para este problema. A saída mais simples é pela fatoração.

• Fatoração do numerador:

Como todos os termos possuem x, vamos colocá-lo em evidência.

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \frac{x.(x {}^{2} + 4x + 4) }{(x + 2).(x - 3)}$

Dentro do parêntese gerou-se uma expressão do segundo grau fatorável utilizando o produto notável chamado de quadrado da soma:

$\: \: \: \: \: (a + b) {}^{2} = a {}^{2} + 2ab + b {}^{2}$

Aplicando na expressão citada no numerador:

$\: {x.(x + 2) {}^{2} } \: \to \: x. (x + 2).(x + 2) \: \to \:$

Tendo feito a fatoração, vamos repor a expressão no limite e observar se conseguimos cancelar alguns termos.

$\lim_{x\to -2}\frac{x. \cancel{(x + 2)}.(x + 2)}{ \cancel{(x +2)}.(x - 3) } \: \to \: \lim_{x\to -2}\frac{x.(x + 2)}{(x - 3)}$

Certamente sumimos com a indeterminação, isto é, podemos substituir novamente o valor a qual o x tende, portanto:

$\lim_{x\to -2} \frac{ - 2( - 2 + 2)}{ - 2 - 3} \: \to \: \lim_{x\to -2} \frac{ - 2.0}{ - 5} \: \to \: \lim_{x\to -2} \frac{0}{ - 5} \: \to \:\lim_{x\to -2}0$

O limite de uma constante é a própria constante.

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \lim_{x\to -2}0 \: \to \: \boxed{ 0}$

Espero ter ajudado