Question

determine a taxa de variação máxima de f no ponto dado f(x, y, z) = x2yz − xyz3, no ponto P(1,1,1) na direção u =(3,2,2)

Answer 1

Após os cálculos feitos, podemos concluir que a taxa de variação máxima da função $f(x,y,z)$ é $\boxed{- \frac{1}{\sqrt{17}}}$

Explicação

Temos a seguinte função:

$\: \: \: \: \bullet \: \: f(x,y,z) = x {}^{2} yz - xyz {}^{3}$

O enunciado quer saber qual a derivada direcional no ponto $P(1,\:1,\:1)$ e na direção de $u = (3,2,2)$, que torne esta taxa de variação (derivada) máxima.

Quando calculamos a derivada direcional, diversos valores podem ser encontrados, mas para que este seja máximo, basta lembrarmos que a taxa de variação máxima ocorre na direção e sentido do vetor gradiente.

• Vetor gradiente:

Este vetor é calculado da seguinte maneira:

$\: \: \: \: \: \: \: \: \bullet \: \: \nabla f(x,y,z) = \begin{bmatrix} \large\frac{ \partial f}{ \partial x} \\ \\ \large \frac{ \partial f}{ \partial y} \\ \\ \large \frac{ \partial f}{ \partial z} \end{bmatrix}$

Além disto, vale ressaltar 3 propriedades desta operação, sendo elas:

• 1) Se $\nabla f(x,y,z) = 0$, então $D_uf(x,y,z) = 0$ para todo $\vec{u}$;

• 2) A direção de crescimento máximo de f é dada por $\nabla f(x,y,z)$. O valor máximo de $D_uf(x, y,z)$ é$‖\nabla f(x,y,z)‖$.

• 3) A direção de crescimento mínimo de f é dada por $-\nabla f(x,y,z)$. O valor máximo de $D_uf(x, y,z)$ é$- ‖\nabla f(x,y,z)‖$.

Outra relação que deve ser comentada é sobre o cálculo da derivada direcional, que é dado por:

$\boxed{D_uf(x,y,z) = \nabla f(x,y,z) \: \cdot \: \underbrace{\frac{ \vec{u}}{ \sqrt{(u _{x}) {}^{2} +(u _{y}) {}^{2} +(u _{z}) {}^{2} }} }_{vetor \: unit\acute{a}rio}}$

________________________________

Antes de substituir os dados na relação do vetor gradiente, é importante lembrar que nas derivadas parciais, aquela variável que não corresponde com a variável de derivação é considerada constante. Como por exemplo:

$\begin{cases}{ \sf ex: } \: f(x,y,z) = x {}^{2} yz \: \: \to \: \: \frac{ \partial}{ \partial x} = ? \\ \\ \frac{ \partial}{ \partial \underbrace{x}_{vari \acute{a}vel}} (x {}^{2} \underbrace{yz}_{constante}) \: \: \to \: \: yz. \frac{ \partial}{ \partial x}(x {}^{2} ) = 2xyz \end{cases}$

Utilizando esta lógica acima, no gradiente, temos:

$\nabla f(x,y,z) = \begin{bmatrix} \frac{ \partial}{ \partial x} (x {}^{2} yz - xyz {}^{3} ) \\ \\ \frac{ \partial}{ \partial y} (x {}^{2} yz - xyz {}^{3} ) \\ \\ \frac{ \partial}{ \partial z} (x {}^{2} yz - xyz {}^{3} ) \end{bmatrix} \: \to \: \: \nabla f(x,y,z) = \begin{bmatrix}\frac{ \partial}{ \partial x} (x {}^{2} yz)- \frac{ \partial}{ \partial x} (xyz {}^{3} ) \\ \\\frac{ \partial}{ \partial y} (x {}^{2} yz)- \frac{ \partial}{ \partial y} (xyz {}^{3} ) \\ \\ \frac{ \partial}{ \partial z} (x {}^{2} yz)- \frac{ \partial}{ \partial z} (xyz {}^{3} ) \end{bmatrix} \:\:\to\:\:\nabla f(x,y,z) =\begin{bmatrix} 2xyz - yz {}^{3} \\ \\ x {}^{2} z - xz {}^{3} \\ \\ x {}^{2} y - 3xyz {}^{2} \end{bmatrix}$

Agora vamos descobrir o valor do gradiente no ponto P informado na questão, isto é, substituir os valores do ponto P no gradiente calculado.

$\nabla f(1,1,1) =\begin{bmatrix} 2.1.1.1 - 1.1 {}^{3} \\ \\ 1{}^{2} .1- 1.1 {}^{3} \\ \\ 1 {}^{2}.1- 3.1.1.1{}^{2} \end{bmatrix} \: \: \to \: \: \nabla f(1,1,1) =\begin{bmatrix} 2- 1 \\ \\ 1 - 1 \\ \\ 1 - 3\end{bmatrix} \:\:\to\:\: \nabla f(1,1,1) =\begin{bmatrix} 1 \\ \\ 0 \\ \\ - 2 \end{bmatrix}$

Este vetor obtido está em notação de vetor coluna, mas como usamos normalmente em notação de vetor linha, basta transpor esta matriz, isto é, aquilo que era linha vira coluna e o que era coluna vira linha.

$\: \: \: \: \: \: \bullet \: \nabla f(1,1,1) =(1, \: 0, \: - 2)$

Para finalizar a questão, é só substituir este valor do gradiente no ponto P e o vetor u na relação da derivada direcional.

$D_u f(x,y,z) = (1, \: 0, \: - 2) \: \cdot \: \frac{ (3, \: 2, \: 2)}{ \sqrt{(3) {}^{2} +(2) {}^{2} +(2) {}^{2} }} \\ \\ D_u f(x,y,z) = (1, \: 0, \: - 2) \: \cdot \: \frac{ (3, \: 2, \: 2)}{ \sqrt{17} } \\ \\ D_u f(x,y,z) = (1, \: 0, \: - 2) \: \cdot \: \left( \frac{3 }{ \sqrt{17} } , \: \frac{2}{ \sqrt{17} } , \: \frac{2}{ \sqrt{17} } \right)$

Este produto de vetores é conhecido por produto escalar, onde basta multiplicar coordenada por coordenada e somar. Como por exemplo: Tomemos os vetores u e v, o produto escalar entre os dois é:

$\begin{cases}u=(u_x,\:u_y,\:u_z)\:\: e\:\: v=(v_x,\:v_y,\:v_z)\\ \\u\cdot v=(u_x\:.v_x+u_y\:.\:v_y+u_z\:.\:v_z)\end{cases}$

Devemos fazer a mesma coisa para o produto do vetor unitário e o gradiente:

$D_u f(x,y,z) = \left( 1.\frac{3}{ \sqrt{17} } + 0. \frac{2}{ \sqrt{17} } , - 2. \frac{2}{ \sqrt{17} } \right) \\ \\ D_u f(x,y,z) = \left( \frac{3}{ \sqrt{17} } + \: 0 + \: - \frac{4}{ \sqrt{17} } \right) \\ \\ \boxed{D_u f(x,y,z) = - \frac{1}{ \sqrt{17} }}$

Espero ter ajudado

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