Question

Seja y = f(x) definida implicitamente pela equação xy^2 + 2y^3 = x - 2y. O coeficiente da reta normal ao gráfico de f no ponto de abcissa 0 é igual a:

Answer 1

Através dos cálculos realizados, chegamos a conclusão de que a reta normal a esta curva de equação $\bf xy {}^{2} + 2y {}^{3} = x - 2y$, é $\bf {-2}$

Explicação

Temos a seguinte equação:

$\: \: \: \: \: \: \: \: \bullet \: \: xy {}^{2} + 2y {}^{3} = x - 2y$

Para derivarmos esta expressão é necessário utilizar a derivação implícita, uma vez que ao tentar isolar a variável (y), vemos que não é tão simples assim.

Derivar implicitamente uma função quer dizer considerar uma função em dependência de outra, no caso desta $y = f(x)$, isto é, y é uma função de x. Portanto ao derivamos uma função y, devemos realizar a regra da cadeia.

_______________________________________

Tendo feito esta breve introdução, vamos partir para o cálculo em si. Primeiro vamos aplicar a derivada em ambos os lados da equação.

$\: \: \: \frac{d}{dx} [xy {}^{2} + 2y {}^{3} ] = \frac{d}{dx} [x - 2y ]$

De acordo com uma propriedade, sabemos que derivada da soma é igual a soma das derivadas. $\frac{d}{dx} [f(x) + \cdots+ g(x) ] = \frac{d}{dx} f(x) + \cdots \frac{d}{dx} g(x)$. Aplicando esta propriedade, ficamos com:

$\frac{d}{dx} (x {y}^{2} ) + \frac{d}{dx} (2y {}^{3} ) = \frac{d}{dx}(x) - \frac{d}{dx} (2y)$

Vamos utilizar mais três propriedades, que são:

• 1) A regra do monômio que nos permite derivar expressões com potências $x^n = n.x^{n-1}$
• 2) A derivada de uma constante multiplicada por uma função, onde podemos remover a constante de dentro da derivada e derivar apenas a função $\frac{d}{dx}(a.f(x)) = a.\frac{d}{dx}f(x)$.
• 3) A derivada do produto de funções, onde se utiliza da seguinte relação: $\frac{d}{dx}[f(x).g(x)] = f'(x).g(x) + f(x).g'(x)$.

Utilizando as propriedades citadas:

$\frac{d}{dx} (x).y {}^{2} + x. \frac{d}{dx} (y {}^{2} ) + 2. \frac{d}{dx}(y {}^{3} ) = 1 - 2. \frac{d}{dx} y \\ \\ 1.y {}^{2} + x.(2y). \frac{dy}{dx} + 2.(3y {}^{2} ). \frac{dy}{dx} = 1 - 2. \frac{dy}{dx} \\ \\ 2xy. \frac{dy}{dx} + 6y {}^{2}. \frac{dy}{dx} + 2 \frac{dy}{dx} = 1 - y {}^{2} \\ \\ \frac{dy}{dx} . \left[ 2xy + 6y {}^{2} + 2\right] = 1 - y {}^{2} \\ \\ \boxed{\frac{dy}{dx} = \frac{1 - y {}^{2} }{2xy + 6y {}^{2} + 2} }$

Portanto esta é a derivada da equação, que quer dizer o coeficiente angular da reta tangente que passa por esta curva em um ponto P(x,y). No caso, a questão nos fala este tal ponto, que é P(0,f(0)). Observe que sabemos apenas o valor da abscissa (x), mas para encontrar a ordenada (y), basta substituir o valor de x na equação e encontrar o valor de (y).

$\begin{cases}x {y}^{2} + 2y {}^{3} = x - 2y \: , \: para \: x = 0 \\ 0y {}^{2} + 2y {}^{3} = 0 - 2y \\ 2y {}^{3} + 2y = 0 \\ 2y.(y {}^{2} + 1) = 0 \\ \ast \: y = 0\end{cases}$

Concluímos então que o ponto em que esta reta tangente passa é P(0,0).

Como eu havia dito, a derivada é basicamente o coeficiente angular da reta tangente, então se substituirmos o valor do ponto P na derivada, vamos encontrar o coeficiente desta reta neste ponto P.

$\frac{dy}{dx} = \frac{1 - 0 {}^{2} }{2.0.0 + 6.0 {}^{2} + 2 } \: \: \to \: \: \boxed{\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2 } }$

Para quase finalizar a questão, vamos lembrar lá de geometria analítica que o coeficiente de uma reta perpendicular a outra, é igual ao oposto do inverso. Portanto se sabemos o coeficiente da reta tangente a curva, para encontrar o coeficiente da reta normal que é perpendicular a reta tangente, basta encontrar o inverso do oposto do coeficiente angular da outra reta em questão, que no caso é tangente.

$m_{tangente} = -\frac{1}{m_{normal}} \: \: \to \: \: \frac{1}{2} = -\frac{1}{m_{normal}} \\ \\ \boxed{{m_{normal}} = - 2}$

Sabendo o coeficiente e o ponto a qual ela passa, podemos montar a sua equação pela equação fundamental da reta.

$y - y_0 = m.(x-x_0) \: \: \to \: \: y - 0 = - 2.(x-0) \\ \\ \boxed{ \boxed{ \boxed{ y = - 2x}}}$

Espero ter ajudado.

Leia mais sobre em:

https://brainly.com.br/tarefa/2313981

https://brainly.com.br/tarefa/34130699