Question

Calcule a derivada da seguinte função:
$\int({x}) = \frac{4x^5 + 5}{2-3 x}$

Answer 1

Explicação passo-a-passo:

Cálculo diferencial

Dada a função:

$\sf{ f(x)~=~\dfrac{4x^5+5}{2-3x} }$

queremos a sua derivada . primeiro devemos partir do pressuposto de que se $\sf{f(u)~=~ln(u)}$ então $\sf{ f'(u)~=~\dfrac{u'}{u} }$.

então na função dada vamos aplicar logaritmos para ambos membros da igualdade:

$\sf{ \ln\left( f(x)\right)~=~\ln\left(\dfrac{4x^5+5}{2-3x}\right)~=~\ln(4x^5+5)-\ln(2-3x) }$

Agora vamos derivar para ambos membros da igualdade acima :

$\iff \sf{ \dfrac{f'(x)}{f(x)}~=~\dfrac{(4x^5+5)'}{4x^5+5}-\dfrac{(2-3x)'}{2-3x} }$

$\iff \sf{ \dfrac{f'(x)}{f(x)}~=~\dfrac{20x^4}{4x^5+5}+\dfrac{3}{2-3x}~=~\dfrac{20x^4(2-3x)+3(4x^5+5)}{(4x^5+5)(2-3x)} }$

$\iff\sf{ f'(x)~=~f(x)*\dfrac{40x^4-60x^5+12x^5+15}{(4x^5+5)(2-3x)}~=~\dfrac{\cancel{(4x^5+5)}}{2-3x}*\dfrac{15+40x^4-48x^5}{\cancel{(4x^5+5)}(2-3x)} }$

$\iff \green{ \boxed{\boxed{\sf{ f'(x)~=~\dfrac{15+40x^4-48x^5}{(2-3x)^2} }}}}$

Espero ter ajudado bastante!)