Question

lim x=1

$2-\sqrt{3+x}\\1-\sqrt{2-x}$2-x

o resultado é 0/0

como fazer a indeterminação ?

Answer 1

Explicação passo a passo:

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Resolvendo o limite:

$\displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{2-\sqrt{3+x} }{1-\sqrt{2-x} }$

Substituindo x por 1 o resultado é $\frac{0}{0}$, ou seja, uma indeterminação.

Logo para resolver esse limite vamos racionalizar o numerador e o denominador.

$\dfrac{(2-\sqrt{3+x}) }{(1-\sqrt{2-x})}. \dfrac{(2+\sqrt{3+x}) }{(2+\sqrt{3+x})}.\dfrac{(1+\sqrt{2-x}) }{(1+\sqrt{2-x})}\\\\\\=\dfrac{[4-(3+x)]}{[1-(2-x)]} .\dfrac{(1+\sqrt{2-x}) }{(2+\sqrt{3+x})}\\\\\\=\dfrac{(1-x)}{(-1+x)} .\dfrac{(1+\sqrt{2-x}) }{(2+\sqrt{3+x})}\ \ \ \ (x\neq 1)\\\\\\=(-1).\dfrac{(1+\sqrt{2-x}) }{(2+\sqrt{3+x})}$

Substituindo a expressão equivalente no limite:

$\displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{2-\sqrt{3+x} }{1-\sqrt{2-x} }=\displaystyle \lim_{x \to 1} (-1).\frac{1+\sqrt{2-x} }{2+\sqrt{3+x} } =-\displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{1+\sqrt{2-x} }{2+\sqrt{3+x} } \\\\=-\bigg(\frac{1+\sqrt{2-1} }{2+\sqrt{3+1} }\bigg)=-\bigg(\frac{2}{4} \bigg)=\frac{-1}{2} \\\\\\\therefore \boxed{\boxed{\displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{2-\sqrt{3+x} }{1-\sqrt{2-x} }=\frac{-1}{2}}}$