Considere a hipérbole com equação reduzida

$\frac{y^2}{36}-\frac{x^2}{100} =1$

Determine seus elementos (centro, vértices, focos, a distância focal, bem como os valoresde a e b e a excentricidade). Esboce a hipérbole.

Respostas

respondido por: Vicktoras

Por meio dos cálculos realizados e por meio da hipérbole esboçada, podemos concluir que os elementos da cônica são:

Vértices (incluindo o foco) são dados por: $\rm A_1(0, - 6)$ e $\rm A_2(0,6)$ , $\rm F_1 (0, - 2 \sqrt{34} )$ e $\rm F_2(0,2 \sqrt{34} )$ , $\rm B_1( - 1,0)$ e $\rm B_2(10,0)$ ;
A excentricidade igual a $\rm \frac{\sqrt{34}}{3}\\$ ;
O centro sendo basicamente a origem $\rm C=(0,0)$ .

Explicação

Temos a seguinte equação:

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \bf \: \frac{y^2}{36}-\frac{x^2}{100} =1 \\$

Esta cônica mostrada acima é uma hipérbole, em relação a ela, o enunciado quer saber as seguintes informações:

1) Centro:

O centro desta hipérbole é basicamente a origem, já que não há nenhum valor sendo subtraído ou somado das variáveis x e y, que indicariam o centro da hipérbole. Então temos que o centro é $\bf C(0,\:0)$ .

2) Vértices e 3) Focos:

Os vértices são dados pelos valores do extremos do eixo real, extremos do eixo imaginário e os focos. Para determiná-los, vamos ter que descobrir os valores de a, b e c da equação.

Sabemos que uma hipérbole possui duas configurações, I) hipérbole com o eixo real sobre o eixo x e II) hipérbole com eixo real sobre o eixo y, sendo estas dadas matematicamente por:

$\boxed{ I) \: \frac{x {}^{2} }{a {}^{2} } - \frac{y {}^{2} }{b {}^{2} } = 1}\boxed{ II) \: \frac{y {}^{2} }{a {}^{2} } - \frac{x {}^{2} }{b {}^{2} } = 1}$

Comparando estas configurações citadas acima, podemos observar que a hipérbole do enunciado se assemelha a equação II), portanto vamos utilizar esta para a determinação de a, b e c, que dá-se através da comparação termo a termo, isto é, o termo que se encontra em uma posição x na equação padrão, é o igual ao termo que se encontra nessa mesma posição x na equação estudada.

$\frac{y {}^{2} }{a {}^{2} } - \frac{x {}^{2} }{b {}^{2} } = 1 \: \: \: \: \equiv \: \: \: \frac{y {}^{2} }{36} - \frac{x {}^{2} }{100} = 1 \\ \\ \begin{cases}a {}^{2} = 36 \\ a = \sqrt{36} \\ a = \pm6\end{cases} \: \: \: \: \: \: \: \begin{cases}b{}^{2} = 100\\ b = \sqrt{100} \\ b = \pm10\end{cases}$

O termo (c) é calculado através do Teorema de Pitágoras um pouco modificado, já que a hipotenusa (a) é trocada pelo termo (c).

$\begin{cases}c {}^{2} = a {}^{2} + b {}^{2} \: \: \to \: \: c {}^{2} = 6 {}^{2} + 10 {}^{2} \\ \\ c {}^{2} = 100 + 36 \: \: \to \: \: c {}^{2} = 136 \\ \\ c = \sqrt{136} \: \: \to \: \: c = \pm2 \sqrt{34} \\ \end{cases}$

Agora que temos todos estes dados, vamos organizar os vértices, lembrando que esta cônica possui dois focos, dois vértices para o eixo real e dois vértices para o eixo imaginário. Como a equação está com o eixo real sobre o eixo y e o eixo imaginário sobre x, então os pontos serão dados pela seguinte configuração $A_1(0, - a) \: \: e \: \: A_2(0,a) , \:\: F_1 (0, - c) \: \: e \: \: F_2(0,c),\:\: B_1(-b,0) \: \: e \: \: B_2(b,0)$

Substituindo os valores de a, b e c:

$\begin{cases} \bf A_1(0, - 6) \: \: e \: \: A_2(0,6) \\ \\ \bf F_1 (0, - 2 \sqrt{34} ) \: \: e \: \: F_2(0,2 \sqrt{34} ) \\ \\ \bf B_1( - 1,0) \: \: e \: \: B_2(10,0) \end{cases}$

4) Distância focal:

Como o próprio nome diz, a distância focal trata-se da distância entre os focos que é sempre igual a $\bf d_{F_1,F_2} = 2c$ . Então:

$d_{F_1,F_2} = 2c \: \to \: \: d_{F_1,F_2} = 2(2 \sqrt{34} ) \: \to \: \: \bf d_{F_1,F_2} =4 \sqrt{34} \\$

5) Excentricidade:

Análogo a elipse e a circunferência, a hipérbole também possui excentricidade e é calculada da mesma maneira: $\bf e=\frac{c}{a}\\$ . A excentricidade neste caso nos dirá traduz hipérbole é “achatada” ou mais “aberta”. Como sempre teremos $c>a$ na hipérbole, sua excentricidade sempre é um número maior que 1. Substituindo os dados, ficamos com: