Question

determine o dominio da funcao f(x)=logx(x²+x-2)

Answer 1

Resposta:

Domínio de f(x) =  ( 1 ; + ∞ )

Explicação passo a passo:

O domínio desta função é a intersecção dos valores possíveis para a

base (x) e para o logaritmando ( x² + x - 2 ).

Domínio de f(x) =  ( 1 ; + ∞ )

Função logarítmica tem duas condições para ser possível :

• base > 0  e base ≠ 1
  
• logaritmando > 0

Aqui considero que base  "x" seja tratada como "b" para não  criar

confusão com o "x" do logaritmando , durante os cálculos.

$log_{(b)} (x^2+x-2)$

Onde:

• base "b"      b > 0    e     b ≠ 1
• logaritmando ( x² + x - 2 )  será > 0

Na função logarítmica  a expressão x² + x - 2  tem que ser maior que

zero, ou seja positiva.

Determinar o sinal da função    g (x) = x² + x - 2    

Funções completas do 2º grau são do tipo :

g (x) = ax² + bx + c        a ; b ; c ∈ |R      a ≠ 0

Analisar esta função:

• a = 1 , logo a > 0   ⇒ parábola com concavidade virada para cima
  
• concavidade virada para cima ⇒ função positiva fora do intervalo
  entre as raízes
  

• Determinação dos zeros

Equação do 2º grau, usar a Fórmula De Bhascara

x = ( - b ± √Δ ) /2a           Δ = b² - 4 * a *c            a ≠ 0

x² + x - 2 = 0

a =   1

b =   1

c = - 2

Δ = 1² - 4 * 1 * ( - 2 ) = 1 + 8 = 9

√Δ = √9 = 3

x1 = ( - 1 + 3) /( 2 * 1 )

x1= 2 / 2

x1 = 1

x2 = ( - 1 - 3) /( 2 * 1 )

x2 = - 4 / 2

x2 = - 2

Análise do sinal da função g(x)

• negativo no intervalo entre as raízes ( - 2 ; 1 )  
  

• positivo nos intervalos ( - ∞ ; - 2 ) ∪ ( 1 ; + ∞ )
  
• O sinal de uma função é visto no eixo y
  
  

Visualização de vários pontos de g (x).

Nos pontos A ; B ; C ; D o valor de coordenada em y é positivo, pois os

valores de x estão fora do intervalo entre as raízes, X1 e X2

Estes pontos pertencem ao domínio de g (x) .

Nos pontos E ; F ; G ; V  o valor da coordenada em y é negativo, pois os

valores de x estão no intervalo entre as raízes, X1 e X2  

Estes pontos não pertencem ao domínio de g (x).

De acordo com o enunciado do exercício

$f(x)=log_{(x)} (x^2+x-2)$

A base " x " está definida na condição

x > 0 e x ≠ 1

O "x" do logaritmando   " x² + x - 2 = 0 " está definido no intervalo

( - ∞ ; - 2 ) ∪ ( 1 ; + ∞ )

Para encontrar o valor de "x" tem que se ver os valores comuns :

• aos valores possíveis para a base
• aos valores possíveis para logaritmando

Vou representar as condições na reta real.

Depois farei a interseção dos dois conjuntos.

Base "x"   { x ∈ |R |  x > 0 e x ≠ 1 }

- ∞                                 0            1                          + ∞

---------------------------------º///////////º//////////////////////////

O zero e o 1 não pertencem a este intervalo

Logaritmando

- ∞                        - 2                     1                           + ∞

\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\º------------------º\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\

O - 2 e o 1 não pertencem a este intervalo

Interseção dos dois conjuntos → só se marca o que é comum aos dois

conjuntos

                                                       1                                         + ∞

------------------------------------------------º+++++++++++++++++++++++++++

O 1 não pertence ao intervalo

Domínio de f (x) =  ( 1 ; + ∞ )

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Observação 1 → Logaritmo de "a"  na base "b"  é  "x"

$log_{(b)}(a)=x.........equivalente....a=b^x$

Lê-se:

O logaritmo de "a" na base "b" é   "x"  

equivalente a dizer

a = b elevado a "x"

 

Observação 2 → Coeficientes "escondidos"

São ou " + 1 " ou " - 1 " e não aparecem escritos. Foi uma opção dos

matemáticos para simplificar a escrita simbólica.

Mas esses valores estão lá quando é necessário fazer operações com

eles.

Exemplo

+ 1 * x² + 1 * x - 2 = 0

Bons estudos

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( > ) maior do que       ( ≠ ) diferente de            ( ∈ )  pertence a

( |R )  conjunto dos números reais                    ( ⇒ )  implica        

( ∪ )  união ou reunião        

( º )  indica que esse ponto não pertence ao intervalo

( ////// ) ;  ( \\\\\\ )  e   ( +++++++ )  símbolos para registar os respetivos

intervalos na reta real

Nas minhas respostas mostro e explico os passos dados na resolução, para que o usuário seja capaz de aprender e depois fazer, por ele, em casos idênticos.

O que eu sei, eu ensino.