Question

Determine a equação da reta que passa pelos pontos A(-1,6) e B(2,-3) A reta geral de r é:​

Answer 1

Portanto, a equação geral da reta que passa pelos pontos A e B é:

$\large \displaystyle \mathsf{ 9x + 3y - 9 = 0 }$

Dados dois pontos distintos, $\boldsymbol{ \textstyle \sf A\: (x_A, y_A ) }$ e $\boldsymbol{ \textstyle \sf B\: (x_B, y_B ) }$, pertencentes à reta r, vamos determinar uma relação entre as coordenadas de um ponto genérico, $\boldsymbol{ \textstyle \sf P (x, y ) }$, também pertencente à reta r. ( Vide a figura em anexo ).

Pela condição de alinhamento para os pontos A, B e P, podemos escrever:

$\large \displaystyle \text { \mathsf{ \displaystyle \sf \begin{array}{ |r r r |} \sf x & \sf y & \sf 1 \\ \sf x_A & \sf y_A & \sf 1 \\ \sf x_B & \sf y_B & \sf 1\end{array} = 0 } }$

Equação geral da reta:

$\Large \boxed{ \displaystyle \mathsf{ax +by + c = 0 } }$

Dados fornecidos pelo enunciado:

$\large \displaystyle \text { \mathsf{ \begin{cases} \sf A \: (-\;1, 6 ) \\ \sf B\: ( 2, -\:3 ) \\\sf r: ax +by + c = 0 \end{cases} } }$

Aplicando o determinante, temos:

$\large \displaystyle \text { \mathsf{ \displaystyle \sf \begin{array}{ |r r r |} \sf x & \sf y & \sf 1 \\ \sf -1 & \sf 6 & \sf 1 \\ \sf2 & \sf -3 & \sf 1\end{array} = 0 } }$

$\large \displaystyle \text { \mathsf{ \displaystyle \sf \begin{array}{ |r r r |} \sf 2 & \sf & \sf 1 \\ \sf x & \sf y & \sf 1 \\ \sf -1 & \sf 6 & \sf 1 \\ \sf2 & \sf -3 & \sf 1 \\\sf x & \sf & \sf 1 \end{array} = 0 } }$

Resolvendo o determinante, temos:

$\large \displaystyle \mathsf{ (6x + 2y+ 3) - ( -3x + 12 -y ) = 0 }$

$\large \displaystyle \mathsf{ 6 x +2y + 3 + 3x - 12 +y = 0}$

$\large \displaystyle \mathsf{ 6x + 3x + 2y + y +3 -12 = 0 }$

$\large \boldsymbol{ \displaystyle \sf 9x + 3y - 9 = 0 }$

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