Matéria: Matemática
Autor: deboratm9543
Perguntado 3 anos atrás

Se dois vértices de um triângulo são (7,4) e (−7/4,2) e o centroide (interseção das medianas) deste triângulo é (7/3,4/3), então o terceiro vértice é:

Respostas

respondido por: Vicktoras

Por meio dos cálculos, podemos afirmar que o valor do vértice desconhecido é dado por $\bf C\left(\frac{4}{7},-2\right)\\$ .

Explicação

Temos os seguintes pontos:

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \bf A(7,4) \: \: e \: \: B \left(-\frac{7}{4},2 \right) \\$

Além dos pontos, a questão nos informa que o triângulo formado por A, B e C, sendo o ponto C desconhecido, possui um centroíde em $G\left(\frac{7}{3},\frac{4}{3}\right)\\$ .

Centroíde:

O Centroíde de acordo com a questão é o encontro das medianas. Tal definição pode ser associada a um outro ponto chamado de Baricentro, sendo este um ponto notável do triângulo que também é conhecido por ter esta mesma definição.

Vale ressaltar que mediana é um segmento que parte de um vértice e se estende até alcançar o ponto médio do lado oposto ao vértice de partida.

Como ambos expressam a mesma ideia, que é ser o centro de gravidade, portanto podemos utilizar tanto a definição do Centroíde, quanto a definição do Baricentro para a resolução.

Baricentro

Por motivos de ser mais simples e de fácil entendimento, vamos utilizar o Baricentro, pois além disto, ele possui uma fórmula pré definida para determiná-lo, que é dada por:

$\boxed{\bf G = \left(\frac{x_a+x_b+x_c}{3} , \: \frac{y_a+y_b+y_c}{3} \right)}$

Como não possuímos o ponto C e consequentemente as suas coordenadas, é possível fazermos uma pequena modificação, onde dividimos esta fórmula em duas, sendo uma para a coordenada X e outra para Y, ambas em relação ao ponto G.

$\boxed{\bf X_G = \frac{x_a+x_b+x_c}{3} \: \: e \: \: Y_G = \frac{y_a+y_b+y_c}{3}} \\$

Portanto vamos organizar os dados, para facilitar a substituição na fórmula.

$\begin{cases}A(7,4) \to x_a = 7 \: \: e \: \: y_a = 4 \\ \\ B \left( - \frac{7}{4},2 \right)\to x_b = - \frac{7}{4} \: \: e \: \: y_b= 2 \\ \\ G\left(\frac{7}{3},\frac{4}{3}\right)\to x_G = \frac{7}{3} \: \: e \: \: y_G = \frac{4}{3} \end{cases}$

Substituindo os dados na fórmula:

$\bullet \: \: \frac{7}{3} = \frac{7 - \frac{7}{4} + x_{c} }{3} \: \to \: \boxed{ \bf\:x_{c} = \frac{7}{4}} \\ \\ \bullet \: \: \frac{4}{3} = \frac{2 + 4 + y_{c}}{3} \: \to \: \boxed{\bf y_{c} =- 2} \: \: \:$

Concluímos então que o terceiro vértice, que chamado de C, é dado por $\bf C\left(\frac{4}{7},-2\right)\\$ .

Espero ter ajudado

Leia mais sobre em:

https://brainly.com.br/tarefa/20718880

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Anexos:

webertleal: Manooo, você pode por favor me dar uma ajuda nas minhas 2 ultimas perguntas??
Não são coisas muito dificeis, mas to com muita duvida. Se você puder me dar essa ajuda...

respondido por: solkarped

✅ Após desenvolver todos os cálculos, concluímos que o ponto "C" do referido triângulo é:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf C\Bigg(\frac{7}{4},\:-2\Bigg)\:\:\:}}\end{gathered}$}$

Sejam os dados:

$\Large\begin{cases} A = (7, 4)\\B = \Bigg(-\dfrac{7}{4}, \:2\Bigg)\\G = \Bigg(\dfrac{7}{3},\:\dfrac{4}{3})\Bigg)\\C = (x, y)\end{cases}$

Por definição; Centroide ou Baricentro "G" é o ponto da figura geométrica onde se cruzam todas as medianas. Se esta figura estiver desenhada no plano podemos representar seu baricentro como.

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} G = (X_{G},\:Y_{G})\end{gathered}$}$

Para calcular o valor numérico de suas coordenadas, devemos calcular a média aritmética das abscissas e das ordenadas dos vértices da referida figura. Se esta figura for rum triângulo, podemos utilizar a seguinte estratégia.

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\bf(I) \end{gathered}$}$ $\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} (X_{G},\:Y_{G}) = \Bigg(\frac{X_{A} + X_{B} + X_{C}}{3},\:\frac{Y_{A} + Y_{B} + Y_{C}}{3} \Bigg)\end{gathered}$}$

Como estamos procurando as coordenadas do ponto "C", então, devemos fazer:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} \bf(II)\end{gathered}$}$ $\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} (X_{c},\:Y_{C}) = (3X_{G} - X_{A} - X_{B},\:3Y_{G} - Y_{A} - Y_{B})\end{gathered}$}$

Substituindo os valores das coordenadas na expressão "II", temos:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} (X_{C},\:Y_{C}) = \Bigg(3\cdot\frac{7}{3} - 7 - \Bigg(-\frac{7}{4}\Bigg),\:3\cdot\frac{4}{3} - 4 - 2\Bigg)\end{gathered}$}$