Question

Determine a imagem da função F de R em R definida por F (x) = 3cos²x + 1

Expliquem, por favor!

Answer 1

Explicação passo a passo:

Sabemos que, para qualquer $x$, temos $- 1\leq \cos{(x)}\leq 1$. Ou seja, a imagem da função $\cos{(x)}$ é o intervalo $[- 1,1]$.

Quando você eleva qualquer número ao quadrado, o resultado sempre é positivo (ou zero, no caso $0^2=0$). Uma demonstração rápida disso é que "mais vezes mais dá mais" e "menos vezes menos também é mais".

Além disso, o quadrado de um número menor que 1 também é menor que 1. Portanto, a imagem de $\cos^2{(x)}$ é o intervalo $[0,1]$.

Quando você multiplica qualquer número menor que 1 por 3, o resultado é menor que 3. Além disso, temos $3\cdot 0=0$. Logo, a imagem de $3\cos^2{(x)}$ é o intervalo $[0,3]$.

Concluimos que a imagem da função $F(x)=3\cos^2{(x)}+1$ é o intervalo $[1,4]$, pois somamos cada termo do intervalo por 1.

$1 \leq 3\cos^2{(x)}+1\leq 4$