Question

Deduza a equação da parábola onde o foco tem coordenadas F(0,4) e diretriz y = 3.

Answer 1

✅ Após terminar de realizar os cálculos, concluímos que a equação da parábola procurada é:

        $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf \rho: x^{2} - 2y + 7 = 0\:\:\:}}\end{gathered} }$

Sendo os dados:

                        $\Large\begin{cases} F(0, 4)\\d: y = 3\end{cases}$

Sabendo que a abscissa do foco da parábola é igual a "0", então a referida parábola é simétrica ao eixo das ordenadas. Como o valor da ordenada do foco é "4", ou seja, está acima da reta diretriz. Então, a concavidade da parábola está voltada para cima. Deste modo podemos montar a equação da parábola sobre a seguinte fórmula:

$\Large\displaystyle\begin{gathered}\bf(I) \end{gathered}$      $\Large\displaystyle\begin{gathered} (X - X_{V})^{2} = 4\cdot P\cdot(Y - Y_{V})\end{gathered}$

Como a parábola é simétrica ao eixo das ordenadas então a abscissa do vértice é igual à abscissa do foco, isto é:

                    $\Large\displaystyle\begin{gathered} X_{V} = X_{F} = 0\end{gathered}$

Sabendo que o vértice "V" da parábola é igual ao ponto médio entre o foco "F" e a reta diretriz "d", então:

          $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} Y_{v} = \frac{Y_{F} + y} {2} = \frac{4 + 3}{2} = \frac{7}{2}\end{gathered} }$

Portanto, o vértice da parábola é:

                          $\Large\displaystyle\begin{gathered} V\Bigg(0,\:\frac{7}{2}\Bigg)\end{gathered}$

Sabendo que P é a distância entre o foco e o vértice, então:

                           $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} P = D_{\overline{FV}}\end{gathered} }$

                                $\Large\displaystyle\begin{gathered} = |Y_{V} - Y_{F}|\end{gathered}$

                                $\Large\displaystyle\begin{gathered} = \Bigg|\frac{7}{2} - 4\Bigg|\end{gathered}$

                                $\Large\displaystyle\begin{gathered} = \Bigg|\frac{7 - 8}{2} \Bigg|\end{gathered}$

                                 $\Large\displaystyle\begin{gathered} = \Bigg|\frac{- 1}{2} \Bigg|\end{gathered}$

                                 $\Large\displaystyle\begin{gathered} = \frac{1}{2}\end{gathered}$

Portanto, o valor de "P" é:

                            $\Large\displaystyle\begin{gathered} P = \frac{1}{2}\end{gathered}$  

Agora podemos montar a referida equação. Para isso basta substituir os valores das incógnitas na equação "I", ou seja:

          $\Large\displaystyle\begin{gathered} (x - 0)^{2} = 4\cdot \frac{1}{2}\cdot\Bigg(y - \frac{7}{2}\Bigg)\end{gathered}$

                       $\Large\displaystyle\begin{gathered} x^{2} = \frac{4}{2}\cdot\Bigg(y - \frac{7}{2}\Bigg)\end{gathered}$

                       $\Large\displaystyle\begin{gathered} x^{2} = 2\cdot\Bigg(y - \frac{7}{2}\Bigg)\end{gathered}$

                       $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} x^{2} = 2y - \frac{{\!\diagup\!\!\!\!2}\cdot7}{\!\diagup\!\!\!\!2}\end{gathered} }$

                        $\Large\displaystyle\begin{gathered} x^{2} = 2y - 7\end{gathered}$

                        $\Large\displaystyle\begin{gathered} x^{2} - 2y + 7 = 0\end{gathered}$

✅ Portanto, a equação procurada da referida parábola é:

            $\Large\displaystyle\begin{gathered}\rho : x^{2} - 2y + 7 = 0\end{gathered}$

         

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Solução gráfica: