Matéria: Matemática
Autor: kriskele
Perguntado 3 anos atrás

Sendo i a unidade imaginária do conjunto dos números complexos, o valor da expressão (2i + 2)6 - (2 - 2i)6 é

Respostas

respondido por: Vicktoras

Por meio dos cálculos abaixo, chegamos a conclusão de que esta expressão complexa é igual a $\boxed{\bf L = 1024i}$ .

Explicação

Temos a seguinte expressão complexa:

$\: \: \: \: \bf L = (2 i + 2) {}^{6} - (2 - 2i) {}^{6}$

Como em qualquer expressão numérica, o objetivo é encontrar o resultado final.

Simplificação da expressão:

Para iniciar o cálculo, vamos evidenciar os números 2 de cada uma das expressões:

$\: \: \: \tt L = (2( i + 1)) {}^{6} - (2(1 - i)) {}^{6}$

Utilizando a propriedade de potência $\bf (a\cdot b)^n = a^n\cdot b^n$ podemos fazer uma pequena modificação que facilitará o cálculo mais a frente.

$\: \: \: \tt L = 2 {}^{6}( i + 1) {}^{6} - 2 {}^{6} (1 - i){}^{6} \\ \: \: \: \: \tt L = 64( i + 1) {}^{6} - 64(1 - i) {}^{6}$

Expansão dos binômios:

Agora para desenvolver estas expressões com exponente, vamos utilizar a relação do desenvolvimento do binômio de Newton.

$\: \: \boxed{ \bf(a + b) {}^{n} = \sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a^k\cdot b^{n-k} }\\$

Onde: n é o expoente, k é a quantidade de vezes que teremos que fazer o cálculo expresso pelo somatório e a e b são respectivamente o primeiro e segundo termo do binômio.

Aplicando os dados na fórmula, ficamos com:

$\tt(i + 1) {}^{6} = \binom{6}{0}i^0\cdot 1^{6-0} \binom{6}{1}i^1\cdot 1^{6 - 1} + \binom{6}{2}i^2\cdot 1^{6-2} + \binom{6}{3}i^3\cdot 1 {}^{6-3} + \binom{6}{4}i^4\cdot 1^{6-4} + \binom{6}{5}i^5\cdot 1^{6-5} + \binom{6}{6}i {}^{6} \cdot 1 {}^{ 6 - 6} \:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: \\ \\ \tt(i + 1) {}^{6} = \binom{6}{0}+ \binom{6}{1}i+ \binom{6}{2}i^2 + \binom{6}{3}i^3 + \binom{6}{4}i^4 + \binom{6}{5}i^5 + \binom{6}{6}i {}^{6}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:$

Para facilitar o cálculo, podemos utilizar três propriedades dos números binômiais, que são:

$\: \: \boxed{ \tt\binom{n}{0} = 1}\boxed{ \tt\binom{n}{1} = n}\boxed{ \tt \binom{n}{n} = 1}$

Em cada número binominal que for aplicável estas propriedades, podemos usá-las para diminuir a complexidade do cálculo.

$\tt(i + 1) {}^{6} =1+6i + \binom{6}{2}i^2+ \binom{6}{3}i^3 + \binom{6}{4}i^4\ + \binom{6}{5}i^5+ i {}^{6} \\$

Para os binômios restantes, devemos utilizar a fórmula da combinação simples.

$\tt(i + 1) {}^{6} = 1+6i +\frac{6!}{2!(6-2)!}i^2+ \frac{6!}{3!(6-3)!}i^3+ \frac{6!}{2!(6-2)!}i^4 + \frac{6!}{2!(6-2)!} + i {}^{6} \\ \\ \tt(i + 1) {}^{6} = 1 + 6i + \frac{6.5.4!}{2!4!}i {}^{2} + \frac{6.5.4.3!}{3!3!} i {}^{3} + \frac{6.5.4!}{4!2!}i {}^{4} + \frac{6.5!}{5!1!}i {}^{5} + \frac{6!}{6!0!}i {}^{6} \\ \\\bf(i + 1) {}^{6} = 1 + 6i + 15i {}^{2} + 20 i {}^{3} + 15i {}^{4} + 6i {}^{5} + i {}^{6}$

Como sabemos, cada potência da unidade imaginária (i) possui um valor, ou seja, podemos encontrar um valor numérico para esta expressão acima. Para isso basta lembrar que $\bf i^2 = -1$ . Utilizando esta informação:

$\begin{cases} \tt(i + 1) {}^{6} = 1 + 6i + 15i {}^{2} + 20i {}^{2}.i + 15i {}^{2} .i {}^{2} + 6i {}^{2} .i {}^{2} .i+ i {}^{2}.i {}^{2} .i {}^{2} \\ \tt(i + 1) {}^{6} = 1 + 6i + 15.( - 1) + 20.( - 1).i + 15.( - 1) .( - 1) + 6.( - 1).( - 1).i + ( - 1).( - 1) .( - 1) \\ \tt(i + 1) {}^{6} = 1 + 6i - 15 - 20i + 15 + 6i - 1 \\ \tt(i + 1) {}^{6} = - 8i \end{cases}$

Observe que o binômio $\bf(i + 1)^6$ é o conjugado de $\bf (1-i)^6$ .

Lembrando que o conjugado de um número complexo é basicamente o mesmo número com o sinal da parte imaginária trocado.

Portanto podemos dizer que a expansão de uma delas será o oposto da outra. Como sabemos que $\bf(i + 1)^6= -8i$ , então a expansão do conjugado será $\bf (1-i)^6=8i$ . Substituindo estes dados na expressão L.

$\begin{cases} \tt L = 64.(i + 1) {}^{6} -64 (1 - i) {}^{6} \\ \tt L = 64.( - 8i) -64 ( 8i) \\ \tt L = - 512i - 512i \\ \boxed{ \bf L = - 1024i}\end{cases}$