A sequência (x,4,y,z) é uma progressão geométrica e (x,y,z-2) é uma progressão aritmética, com y<0. Assinale a alternativa que dá o valor de z. a. 2√2 b. 8 c. 16 d. 4√2 e. 2

Respostas

respondido por: Vicktoras

Pelos cálculos realizados, podemos concluir que o valor de z destas progressões é $\boxed{ \bf z = 2}$ .

Explicação

Temos as seguintes informações:

$\bf P.A \: (x, \: y, \: z-2) \: \: e \: \: P.G \: (x, \: 4, \: y, \: z) \\$

O objetivo é encontramos o valor de z.

Progressão Geométrica:

Vamos iniciar montando algumas expressões com a P.G dada. Faremos isto através da definição de razão, que é basicamente a divisão de um termo pelo seu antecessor imediato.

$(1) \begin{cases} \bf q=\normalsize \ \frac{z}{y} \end{cases} \: \: \: (2) \begin{cases} \bf q=\normalsize \frac{y}{4} \end{cases} \: \: \: (3) \begin{cases}\bf q = \normalsize\frac{4}{z} \end{cases}$

Como a razão é sempre a mesma em toda a progressão, então todas expressões acima devem ser iguais, através desta propriedade.

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \:\:\: \:\:\:\: q \to \: \left\{\frac{z}{y} = \frac{y}{4} = \frac{4}{x} \right\} \\$

Se todas são iguais, podemos fazer a combinação de cada uma delas de 2 em 2, isto é, igualar uma a outra, pois assim geraremos expressões dependentes de x, y e z.

$\bullet \: \: \: I) \: \frac{z}{y} = \frac{y}{4} \: \to \: y {}^{2} = 4z \: \bigg | \: II) \: \frac{y}{4} = \frac{ 4 }{x} \: \to \: xy = 16 \: \: \bigg | \: \: III) \: \frac{z}{y} = \frac{4}{x} \: \to \: xz = 4y \\$

Não temos a capacidade de encontrar equações que sejam dependentes apenas de z ou y, já que para determiná-las, devemos usar duas equações das três que possuímos, ou seja, ficaremos sempre gerando uma equação que já temos. A única possibilidade é isolar a variável x. Então:

Substituindo I) em II):

$\left( \frac{ {16} }{x} \right)^{2 } = 4z \: \to \: \frac{256}{x {}^{2} } = 4z \: \to \: z = \frac{64}{x {}^{2} } \\$

Substituindo I) em III):

$y {}^{2} = 4. \frac{4y}{x} \: \to \: xy {}^{2} = 16y \: \to \:y( xy {} - 16) = 0\\$

Resolvendo a equação do segundo grau pelo anulamento de produto, isto é, em um produto de resultado 0, um dos termos deve ser igual a 0, mas como não temos certeza, igualamos ambos.

$xy - 16 = 0 \: \to \: \: y = \frac{16}{x} \: \:{ \rm ou} \: \: y = 0 \\$

De acordo com a questão, $\bf y < 0$ , então vamos descartar o valor que obtemos, onde y = 0 e ficaremos apenas com o outro, já que não sabemos se y será ou não negativo.

Progressão Aritmética:

Para a P.A, vamos apenas usar uma propriedade que nos diz que o termo central é igual a média dos extremos. Logo:

$\: \: \: \: \: \: \: \: \bullet \: \: \: \: \: y = \frac{(z - 2 )+ x}{2} \\$

Como sabemos os valores de z e y em função de x, podemos então substituir nessa relação acima.

$\frac{16}{x} = \frac{ \frac{64}{x {}^{2} } - 2+ x }{2} \: \to \: \: 32 = \frac{64x}{x {}^{2} } - 2.x+ x.x \\ \\ 32 = \frac{64}{x} - 2x + x {}^{2} \: \to \: 32 = \frac{64 - 2x {}^{2} }{x} + x {}^{2} \\ \\ 32 = \frac{64 - 2x {}^{2} + x {}^{3} }{x} \: \to \: 32x = 64 - 2x {}^{2} + x {}^{3} \\ \\ x {}^{3} - 2x {}^{2} - 32x + 64 = 0$

Para determinar x, devemos resolver esta equação de terceiro grau. Vale ressaltar que a melhor forma de resolução é por meio da fatoração, já que resolver este tipo de equação é um pouco desgastante.

$\begin{cases}(x {}^{3} + 64) - 2x {}^{2} - 32x = 0 \\ x {}^{2} .(x - 2) - 32.(x - 2) = 0 \\ (x - 2).(x {}^{2} - 32) = 0 \\ \end{cases}$

Podemos usar mais uma vez o anulamento de produto, ou seja, igualar ambas a 0.

$(x - 2) = 0 \: \: { \rm ou} \: \: x {}^{2} - 32 = 0 \\ \bf x = 2 \: \: {\rm ou }\: \: x = \pm4 \sqrt{2}$

Portanto temos três valores de x.

Para saber qual é o certo para este caso, basta lembrar que o valor de y deve ser menor que 0 (y < 0).

Então vamos substituir em uma das equações e observar qual o valor que faz com que isso será verdadeiro.

${ \rm para \: x = 2 }\: \: \bigg | \: \: xy = 16 \: \to \: \: y = 8 \: \\ { \rm para \: x = 4 \sqrt{2} }\: \: \bigg | \: \: xy = 16 \: \to \: \: y = \frac{4}{ \sqrt{2} } \: \: \\ { \rm para \: x = - 4 \sqrt{2} }\: \: \bigg | \: \: xy = 16 \: \to \: \: y = - \frac{4}{ \sqrt{2} } \: \:$

Portanto o valor certo é x = -4√2. Sabendo disto, vamos substituí-lo e o seu valor respectivo para y e encontrar finalmente z.

$xz = 4y \: \to \: - 4 \sqrt{2} \: . \: z = 4. \left( - \frac{4}{ \sqrt{2} } \right) \\ \\ - 4 \sqrt{2} \: . \: z = - \frac{16}{ \sqrt{2} } \: \to \boxed{ \bf \: z = 2}$