A tabela abaixo mostra a evolução mensal de uma aplicação financeira, sempre se referindo ao primeiro dia de cada mês:
Abril - R$ 10.000,00
Maio - R$ 10.500,00
Junho - R$ 11.025,00
Julho - R$ 11.576,25
A) Seguindo a mesma lógica multiplicativa, qual seria o montante no mês de agosto? E em dezembro?
B)Seguindo a mesma lógica multiplicativa, como poderíamos calcular o montante de março?
C)Usando essa mesma lógica, calcule o montante de janeiro.
D)Seguindo a mesma lógica multiplicativa, como poderíamos calcular o montante referente a 16 de abril?
E) Usando essa mesma lógica, calcule o montante referente a 16 de junho.
F) Agora, tente escrever uma fórmula que relacione o montante obtido (M) em função do tempo (t). DICA: O t deve corresponder ao expoente da potenciação
G) Na fórmula anterior, o que significariam os expoentes negativos? E os expoentes fracionários?
Respostas
Utilizando os conceitos básicos envolvendo juros compostos em aplicação financeira, temos que:
A) Para agosto: M = R$ 12155,06; Para dezembro: M = R$ 14774,55.
B) Para março: M = R$ 9523,81.
C) Para janeiro: M = R$ 8638.38.
D) Para 16 de abril: M = R$ 10253,45.
E) Para 16 de junho: M = R$ 11862,13.
F) M = C(1+i)^t
G) Expoentes negativos = período anterior à origem; Expoentes fracionários: período menor que o período da taxa.
Como o valor não tem um aumento fixo, trata-se de juros compostos. Logo, para chegar a essas respostas deve-se entender os conceitos por trás desse tipo de juros.
Juros Compostos
- O juros composto é um regime de capitalização que incide sobre o valor acumulado do capital até o exercício anterior.
- Matematicamente, M = C + J = C(1 + i)^n.
- Isso quer dizer que, em juros compostos, o montante é dado por capital mais juros e que o montante cresce exponencialmente com o tempo.
Com base nessas informações, é possível responder o que se pede.
Ao observar os valores dados, temos que:
10500 = 10000 + x
x = 500
E também:
10500 = 10000*y
y = 0,05
O mesmo vale para os outros meses:
11025 = 10500*z
z = 0,05
Logo, o fator multiplicante 0,05 é constante.
Fazendo uma analogia com juros compostos, temos que J1 = 500 e i = 0,05.
Sabendo que:
Abril ------ t = 0
Maio ------ t = 1
Junho ------ t = 2
Julho ------ t = 3
Agosto ------ t = 4
.
.
.
Dezembro ------ t = 8
A) Para agosto:
M = 10000(1+0,05)^4
M = R$ 12155,06
Para dezembro:
M = 10000(1+0,05)^8
M = R$ 14774,55
B) Fazendo t = -1, temos:
M = 10000(1+0,05)^-1
M = R$ 9523,81
C) Fazendo t = -3, temos:
M = 10000(1+0,05)^-3
M = R$ 8638.38
D) Como deseja-se saber o montante no meio do mês (15 dias depois do primeiro dia), t = 1/2:
M = 10000(1+0,05)^1/2
M = R$ 10253,45
E) M = 11576,25(1+0,05)^1/2
M = R$ 11862,13
F) Essa fórmula seria exatamente a fórmula de montante para juros compostos:
M = C(1+i)^t
G) Os expoentes negativos significam que o período de aplicação é anterior a origem estabelecida e os expoentes fracionários indicam que o tempo considerado é menor que o tempo padrão referente à taxa de juros.
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