Numa dada experiência, lançou-se verticalmente um projétil, a partir do solo.
A partir dos resultados obtidos, concluiu-se que a altura (h) do projétil, expressa em centenas de metros, em função do tempo decorrido (t) era dada pela seguinte expressão:
$h(t)=3t-t\sqrt{t}\qquad,\;t\ \textgreater \ 0$

Usando processos exclusivamente analíticos, determine:

a) A altura máxima atingida pelo projétil.

b) A velocidade média do projétil nos primeiros 4 segundos da experiência

c) A velocidade no instante em que o projétil atinge o solo, em m/s

Respostas

respondido por: MSGamgee85

As respostas deste problema são:

a) 400 m

b) 100 m/s

c) -150 m/s

Esta é uma tarefa sobre lançamento vertical.

Neste tipo de movimento, o objeto é arremessado para cima em linha reta e fica sujeito à aceleração da gravidade. Ao atingir o ponto mais alto da trajetória, o objeto inverte o sentido do movimento e começa uma queda livre. Em outras palavras, trata-se de um movimento retilíneo uniformemente variado - MRUV.

Solução:

I. Vamos adotar o sistema de referência positivo para cima. Além disso, é interessante escrever a função altura de uma forma diferente; isso vai ajudar nos cálculos a seguir:

$\large \begin{array}{lr} \sf h(t)=3t-t\sqrt{t} \\\\ \sf h(t)=3t-t\cdot t^{\frac{1}{2}} \\\\ \boxed{\sf h(t) = 3t -t^{\frac{3}{2}}} \quad \sf t > 0\end{array}$

II. O ponto de altura máxima ocorre quando h'(t) = 0, assim vamos derivar a função dada e igualar o resultado a zero para obter o instante de tempo em que isso acontece:

$\large \begin{array}{lr} \sf h_{m\acute{a}x} \rightarrow h'(t)=0 \\\\ \sf h'(t) =3-\dfrac{3}{2}t^{\frac{1}{2}} \\\\ \sf 0=3-\dfrac{3}{2}t^{\frac{1}{2}} \\\\ \sf 3=\dfrac{3}{2}t^{\frac{1}{2}} \\\\ \sf t^{\frac{1}{2}}=2 \rightarrow \sf (t^{\frac{1}{2}})^2=2^2 \\\\ \boxed{\sf t=4 \ s}\end{array}$

III. Agora podemos calcular a altura máxima atingida bastando substituir o tempo encontrado acima na função original:

$\large \begin{array}{lr} \sf h(4)=3\cdot4-4\sqrt{4} \\\\ \sf h(4)=12-8 \\\\ \sf h(4)=4\end{array}$

O enunciado do problema diz que a altura é expressa em centenas de metros, logo o resultado é:

$\large \begin{array}{lr} \boxed{\sf h(4) =400 \ m} \end{array} \blacksquare$

-----------------------------------

A velocidade média pode ser obtida pela fórmula tradicional:

$\large \begin{array}{lr} \sf v=\dfrac{dist\^{a}ncia}{tempo} \\\\ \sf v=\dfrac{400}{4} \\\\ \boxed{\sf v=100 \ m/s} \ \blacksquare \end{array}$

-----------------------------------------------

A discussão a seguir é opcional. Você pode pular para o item c direto.

Uma outra forma de resolver este item é usando a definição de valor médio de uma função. Uma vez que a função velocidade v = v(t) é a derivada da função altura h(t), podemos escrever:

$\large \begin{array}{lr} \sf v(t)=h'(t) \end{array}$

E pela definição de valor médio de uma função, fazemos:

$\large \begin{array}{lr} \boxed{\sf v_{m\acute{e}d} = \dfrac{1}{t_1-t_o}\displaystyle \int_{t_o}^{t_1} v(t) \ dt}\end{array}$

Logo:

$\large \begin{array}{lr} \sf v_{m\acute{e}d} = \dfrac{1}{4-0}\displaystyle \int_{0}^{4} h'(t) \ dt=\dfrac{1}{4} \bigg[h(t) \bigg]_0^4 \\\\ \sf v_{m\acute{e}d}=\dfrac{1}{4}[h(4)-h(0)]=\dfrac{1}{4}(4-0) \\\\ \sf v_{m\acute{e}d}=1\ \end{array}$

Lembrando que a altura é expressa em centenas de metros, então o valor correto para a velocidade é:

$\large \begin{array}{lr} \boxed{\sf v_{m\acute{e}d} =100 \ m/s} \end{array} \blacksquare$

O mesmo valor obtido anteriormente.

--------------------------------------------------------------

I. Vamos determinar primeiro o instante em que o objeto atinge o solo. Neste ponto temos que h(t) = 0, então:

$\large \begin{array}{lr} \sf h(t) = 0 \rightarrow 3t -t\sqrt{t}=0 \\\\ \sf t\cdot (3-\sqrt{t})=0\rightarrow \\\\ \rightarrow \boxed{ \sf t=0} \quad \sf ou \quad 3-\sqrt{t}=0 \\\\ \sf \sqrt{t}=3\rightarrow \boxed{\sf t=9 \ s} \end{array}$

II. Lembrando que a velocidade é a derivada da posição (altura), basta substituir esse valor na expressão para h'(t), temos:

$\large \begin{array}{lr} \sf v(t)=h'(t)=3-\dfrac{3}{2}t^{\frac{1}{2}} \\\\ \sf v(9)=3-\dfrac{3}{2}\cdot 9^{\frac{1}{2}} \\\\ \sf v(9)=3-4{,}5 \\\\ \sf v(9)=-1{,}5 \end{array}$

O sinal negativo apenas indica que o sentido da velocidade é contrário ao sentido do referencial adotado (positivo para cima). Fazendo os ajustes, o resultado final é:

$\large \boxed{\sf v(9)=-150 \ m/s} \ \blacksquare$