Matéria: Matemática
Autor: jorgeasjunior89
Perguntado 3 anos atrás

função que é uma primitiva de f(x) = 2x^7 + 1

Respostas

respondido por: Vicktoras

Por meio dos cálculos realizados, obtemos que a primitiva desta função é dada por $\boxed{\bf F(x) = \frac{x^4}{4}+x+C,\:C\in\mathbb{R}}\\$ .

Explicação:

Temos a seguinte função:

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \bf f(x) = 2x {}^{7} + 1$

O objetivo é determinarmos a função primitiva.

Primitiva de uma função:

Encontrar a primitiva de uma função, quer dizer determinar a função que deu origem a uma outra por meio da derivação. Em outras palavras, devemos realizar a operação inversa.

Um exemplo de primitivação simples é tomar que a derivada da função $\bf y = 8x^3$ é $\bf y' = 24x^2$ , portanto temos que $8x^3$ é uma primitiva de $24x^2$ .

Conclusão: $\bf f'$ é a derivada de $\bf f \Longleftrightarrow f$ é uma primitiva de $\bf f'$ .

Família de primitivas:

A família de primitivas é dada por uma mesma função, onde há apenas uma variação chamada de constante de integração, sendo esta representada por um valor numérico.

Um exemplo de uma família de primitivas é $\bf f(x) = 3x^3 + c$ , observe que ao derivarmos obtemos $\bf f'(x) = 9x^2$ . Caso haja a substituição de c por um valor numérico, a derivada sempre se manterá com o mesmo resultado, uma vez que a derivada de uma constante é igual a zero.

Esta tal primitivação citada anteriormente é feita através de uma ferramenta matemática chamada de integral. Ao invés de escrevermos que $8x^3$ é uma primitiva de $24x^2$ , podemos dizer que:

$\: \: \: \int 24x {}^{2} = 8x {}^{3} + C, \: C \in\mathbb{R} \\$

Sendo (dx) o termo que indica em qual variável que estamos integrando tal função.

Portanto chegamos a conclusão que para encontrar a primitiva, basta encontrar a integral da derivada.

$\: \boxed{ \int f'(x) \: dx = f(x) + C, \: C\in\mathbb{R}} \\$

________________________________

Sabendo da parte teórica, vamos partir para os cálculos em si. Como foi dito anteriormente, a primitiva é dada pela integral da derivada, ou seja, no nosso caso $\bf f'(x) = 2x^7+1$ . Logo:

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \int 2x {}^{7} + 1 \: dx \\$

Para resolvermos esta integral, vamos utilizar algumas propriedades. Iniciando pela propriedade que nos diz que a integral da soma de funções é igual a soma das integrais de cada uma destas funções. Matematicamente:

$\boxed{\bf 1) \: \int( f(x) \pm g(x)) dx= \int f(x)dx \pm \int g(x)dx }\\$

Aplicando na integral que montamos:

$\int 2x {}^{7} + 1 \: dx = \int 2x {}^{7} dx + \int 1dx \\$

Para finalizarmos, necessitaremos que outra propriedade, conhecida por ser a regra da potência para integrais, sendo esta bem parecida com a regra da potência para as derivada.

$\boxed{\bf 2) \: \int x {}^{n} dx = \frac{x {}^{n + 1} }{n + 1} C, \: C\in\mathbb{R}} \\$

Vale ressaltar que em nossa integral temos o termo 1 para ser integrado, mas para melhorar o entendimento da aplicação desta regra acima, vamos considerá-lo sendo $\bf x^0$ , já que qualquer número, elevado a zero é um, com excessão do próprio número 0. Portanto:

$\int 2x {}^{7}dx + \int 1dx = 2. \frac{x {}^{7 + 1} }{7 + 1} + 1.\frac{x {}^{0 + 1} }{0 + 1} \\ \\ \int 2x {}^{7}dx + \int 1dx = \frac{2x {}^{8} }{8} + x \\ \\ \int 2x {}^{7}dx + \int 1dx = \boxed{\bf \frac{x {}^{8} }{4} + x + C, \: C\in\mathbb{R}}$