Matéria: Matemática
Autor: Lais2544
Perguntado 3 anos atrás

Mostre que o volume de uma esfera de raio r é V = 4/3πr³. (Sugestão: leve em consideração a imagem abaixo.)

Anexos:

Respostas

respondido por: Vicktoras

Por meio dos cálculos realizados, podemos chegar a conclusão de que através do método dos discos, obtemos a expressão do volume de uma esfera.

$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\boxed{\bf V = \pi \int_{ - r}^{r}r {}^{2} - x {}^{2} \: dx = \frac{4\pi r {}^{3} }{3}}$

Explicação

O objetivo desta questão é mostrarmos que o volume de uma esfera é igual a $\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: \:\:\:\:\: \:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: \boxed{\bf V = \frac{4\pi r^3}{3}}$

Equação da circunferência:

Para provarmos este volume, vamo iniciar por uma equação da circunferência. Pela imagem podemos ver uma esfera centrada em 0 onde o raio da mesma é r. Matematicamente:

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \boxed { \bf\: x {}^{2} + y {}^{2} + z {}^{2} = r {}^{2} }$

Em relação a esta esfera acima, podemos associar uma equação de circunferência no plano xy.

Analogamente, a circunferência é centrada em 0 e o raio ainda permanece sendo r. Logo:

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \boxed{\bf x {}^{2} + y {}^{2} = r {}^{2} }$

A circunferência em si é formada por duas semicircunferências, uma que se encontra na parte positiva, e outra na parte negativa.

$x {}^{2} + y {}^{2} = r {}^{2} \: \: \to \: \begin{cases}y {}^{2} = r {}^{2} - x {}^{2} \\ f(x)= \sqrt{r {}^{2} - x {}^{2} } \\ f(x) = - \sqrt{r {}^{2} - x {}^{2} } \end{cases}$

Observe que se fizermos a rotação de uma das semicircunferências em torno do eixo x, iremos gerar uma esfera com as mesmas especificações da circunferência, isto é, raio e centro.

Sólido de revolução:

Para encontrar a revolução da semicircunferência podemos utilizar as integrais para este cálculo.

Primeiramente vamos pegar um pequena fatia desta semicircunferência, perpendicular ao eixo em que vamos realizar a rotação, ou seja, eixo x. Ao rotacionarmos, a semicircunferência torna-se uma esfera e a fatia infinitesimal, um cilindro.

Como este cilindro gerado através da secção é infinitesimal, isto é, muito pequeno, então podemos dizer que ele ocupará um volume tão "insignificante" que ele será dado por uma diferencial de volume.

$\: \: \: \: \:\:\:\: \: \:\:\:\: \:\:\:\: \: \: \: \: \: \: dV = \pi \: . \: r {}^{2} \: . \: h$

A altura também segue a mesma lógica, já que é infinitesimal. Como ela é referente ao eixo x, digamos então que ela será uma diferencial de x.

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \:\:\:\:\:\:\:\: \: \:\: \: \: dV = \pi \: . \: r {}^{2} \: . \: dx$

Já em relação ao raio, podemos ver que ele é equivalente a semicircunferência positiva ou negativa f(x), isto quer dizer que ele varia de acordo com a função, Então podemos dizer que o raio é:

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:\:\:\:\:\:\:\:dV = \pi \: . \: [f(x)] {}^{2} \: . \: dx \:$

Como queremos saber o volume todo, que corresponde ao intervalo $\bf [-r,r]$ , podemos utilizar a a integral definida já que ela soma estes infinitos pedaços para gerar uma aproximação do real. Dito isto, vamos integrar em ambos os lados.

$\: \: \: \:\:\:\: \:\ \int_{ - r}^{r}dV = \int_{ - r}^{r}\pi \: . \: [ \sqrt{r {}^{2} - x {}^{2} } \: ]^{2} \: . \: dx \\ \\ \:\:\:\:\:\:\: \: \: \boxed{ V = \pi \int_{ - r}^{r}r {}^{2} - x {}^{2} \: . \: dx }$

Para finalizar, basta resolvermos esta integral.

$V = \pi\int_{ - r}^{r}r {}^{2} - x {}^{2} \: dx \: \: \to \: \:V =\pi \cdot \left(\int_{ - r}^{r} r {}^{2}dx - \int_{ - r}^{r} x {}^{2} \: dx\right)\\ \\ V =\pi \cdot \left(r {}^{2}.x \: \bigg| _{ - r}^{r} - \frac{x {}^{3} }{3}\bigg| _{ - r}^{r} \right) \: \: \to \: \: V =\pi. \left[( r {}^{2}.r - r {}^{2}.( - r) ) - \left( \frac{r {}^{3} }{3} - \frac{( - r) {}^{3 } }{3} \right)\right] \\ \\ V =\pi. \left[2r {}^{3} - \frac{2r {}^{3} }{3} \right] \: \: \to \: \: V =\pi.\left[ \frac{6r {}^{3} - 2r {}^{3} }{3} \right] \: \to \: \boxed{\bf V = \frac{4\pi r {}^{3} }{3}} \\$