Question

(Função quadrática)
Primeira vez que vejo uma questão assim, tentei usar y=a(x-x1)(x-x2), mas não deu mt certo

Answer 1

Pelo gráfico sabemos que:

$x_1 = -1\\x_2 = 3\\\left(0, \dfrac{3}{2}\right)$

Com essas informações podemos usar a forma fatorada da função quadrática e encontrar a equação correta:

$y = a(x-x_1)(x-x_2)\\\dfrac{3}{2} = a(0 - (-1))(0-3)\\\dfrac{3}{2} = a(1)(-3)\\-3a = \dfrac{3}{2}\\3a = -\dfrac{3}{2}\\a = -\dfrac{1}{2}$

Desta forma:

$f(x) = -\dfrac{1}{2}(x+1)(x-3)$

Para x = 1:

$f(1) = -\dfrac{1}{2}(1+1)(1-3)\\f(1) = -\dfrac{1}{2} \cdot 2 \cdot (-2)\\f(1) = -\dfrac{1}{2} \cdot (-4)\\f(1) = \dfrac{4}{2}\\f(1) = 2$

Desta forma nossa imagem compõem todos os números reais menores ou igual a dois.

$\boxed{\boxed{d) \ \{y \in \mathbb{R} \ | \ y \leq 2\}}}$

Answer 2

Para achar a imagem vamos achar o valor máximo de y, que no caso, é em x = 1.

A concavidade da parábola é virada para baixo, logo o coeficiente angular é negativo. E suas raízes são x = -1 e x = 3, daí façamos :
$\displaystyle \sf f(x) = a\cdot (x-x_1)\cdot (x-x_2 ) \\\\ f(x) = a \cdot (x-(-1))\cdot (x-3)\\\\ f(x) = a\cdot (x+1)\cdot (x-3) \\\\ note\ que \ f(0) = 1,5 = \frac{3}{2} \\\\ Da{\'i}} : \\\\ f(0) = a\cdot (0+1)\cdot (0-3) \\\\ \frac{3}{2} = a\cdot 1\cdot (-3) \\\\\\ a = \frac{-1}{2} \\\\ Da{\'i}} : \\\\ f(x) = \frac{-1}{2}\cdot (x+1)\cdot (x-3) \\\\ \text{Valor m{\'a}ximo x = 1 } : \\\\ f(1) = \frac{-1}{2}\cdot (1+1)\cdot (1-3) \\\\\\ f(1) = \frac{-1\cdot 2 \cdot (-2)}{2} \\\\\\ f(1) = 2$

Portanto o conjunto imagem será :

$\boxed{\sf Imagem (y) = \{ y \in \mathbb{R}\ | \ y \leq 2 \} }\checkmark$

letra d