Respostas
Resposta:
aₙ = 3 · 2ⁿ⁻¹ - 1
Explicação passo a passo:
É dada a seguinte relação de recorrência:
Vamos analisar a fórmula da segunda linha para outros termos da sequência:
Podemos manipular as equações acima, a fim de eliminar os termos intermediários da sequência. Por exemplo, se multiplicarmos a segunda equação por 2 e a somarmos com a primeira, teremos:
Assim, obtivemos a(n) em função de a(n-2). Como o termo que conhecemos é a(1), queremos a(n) em função de a(1). Dessa forma, vamos executar um procedimento parecido com as linhas posteriores, para que a soma dessas linhas resulte na relação entre os termos que queremos. Veja:
Note que, agora, quando somarmos as linhas, vamos cancelar os termos intermediários:
Estamos quase lá. Agora vamos usar o valor dado de a(1)=2:
Já conseguimos uma fórmula fechada, mas podemos simplificá-la. Vê-se que o termo entre parênteses é a soma dos termos de uma PG cuja razão é 2. Usando a fórmula da soma dos termos da PG, temos:
A PG mencionada é (1, 2, 2², ..., 2^(n-2)). A soma dos elementos aparece na expressão que calculamos e podemos simplificá-la. Podemos ver que a razão da PG é q = 2, o primeiro termo é a₁ = 1 e o número de termos é n-1 (já que a sequência vai de 2⁰ até 2^(n-2)).
A fórmula da soma dos termos da PG é: S = a₁.(q^t - 1)/(q-1), onde t é o número de termos.
Substituindo:
S = 1.(2^(n-1) - 1)/(2-1) = (2^(n-1) - 1)/1 = 2^(n-1) - 1