Question

Ao calcular a integral ∫ 28 (7x – 2)2 dx encontraremos a primitiva

Answer 1

Resposta:

4/3 (7x - 2)³ + c

Explicação passo a passo:

∫28 (7x – 2)² dx = 28 ∫(7x – 2)² dx   ; 7x - 2 = u ⇒ 7dx = du ⇒ dx = 1/du

28 ∫u².1/7 du = 4 ∫u² du = 4 u³/3 + c = 4/3 (7x - 2)³ + c

Answer 2

O valor da integral definida em questão é 7416.

Para resolvermos essa questão devemos nos lembrar das técnicas de integração. Neste problema utilizaremos a substituição simples. Para facilitar o entendimento, resolveremos inicialmente a integral indefinida:

$\sf{\displaystyle\int(7x-2)^2\;dx}$

Começaremos a resolver a integral chamando u = 7x - 2:

$\sf{Subst. =}\left\{\begin{matrix}\sf{u=7x-2\Rightarrow \dfrac{du}{dx}=7} & \\ & \\\sf{dx=\dfrac{1}{7}\;du}& \\&\end{matrix}\right.$

Colocando na integral, teremos:

$\sf{\displaystyle\int(7x-2)^2\;dx}=\sf{\dfrac{1}{7}\cdot\displaystyle\int u^2\;du}\\ \\ \\ \sf{I=\dfrac{1}{7}\cdot \dfrac{u^3}{3}}\\ \\ \\ \sf{I =\dfrac{u^3}{21}+C}\to\sf{Retornando\;para\;x,\;teremos:}\\ \\ \\ \sf{I =\dfrac{(7x-2)^3}{21}+C}$

Com a integral indefinida resolvida, basta que apliquemos o Teorema Fundamental do Cálculo para encontrarmos o valor da integral definida. Veja como ficará:

$\sf{I =\dfrac{(7x-2)^3}{21}\Big|_2^8}\\ \\ \\ \sf{I=\dfrac{1}{21}\cdot[(7\cdot 8-2)^3-(7\cdot 2-2)^3]}\\ \\ \\ \sf{I=\dfrac{1}{21}\cdot[(54)^3-(12)^3]}\\ \\ \\ \sf{I=\dfrac{1}{21}\cdot 155736}\\ \\ \\ \large\boxed{\boxed{\sf{I=7416}}}~\checkmark~$

Ou seja, encontramos que a integral definida em questão resulta em 7416.

Espero que te ajude!

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