Question

Dadas as matrizes quadradas A, B e C, de ordem n, e a matriz identidade In de mesma ordem, considere as proposições a seguir, verificando se são verdadeiras (V) ou falsas (F).

( ) (A+B)2 = A2 +2AB+B2
( ) (A-B)2 = A2-B2
( ) C.I=C

A sequência correta de preenchimento dos parênte-
ses, de cima para baixo, é:
a) V-V-V.
b) V-F-V.
c) F-V-V.
d) F-F-V
e) F-F-F

Se puderem ajudar agradeço

Answer 1

Temos as seguintes afirmações:

${\bf( F )}\:\: ( A+B)^2=A^2+2AB+B^2$

${\bf( F )}\:\: (A-B)^2= A^2-B^2$

${\bf( V )}\:\: C.I = C$

O objetivo é determinarmos quais são verdadeiras e quais são falsas.

Explicação:

Para que haja um bom entendimento, vamos analisar item por item.

• Primeira afirmação:

Vamos iniciar fazendo a expansão deste produto notável de matrizes, para que possamos observar uma pequena recorrência.

$\begin{cases}(A+B)^2 =(A + B).(A + B) \\(A+B)^2 =A.A + AB + BA + B {}^{2} \\(A+B)^2 =A {}^{2} + AB + BA + B {}^{2} \end{cases}$

Na operação com os números reais, sabemos que $\bf AB = BA$, mas no caso das matrizes não podemos fazer esta mesma afirmação.

• Uma vez que a multiplicação de matrizes não é comutativa, já que existem matrizes onde $\bf AB \neq BA$.

• Segunda afirmação:

Do mesmo jeito do anterior, vamos iniciar pela expansão do produto notável.

$\begin{cases}(A - B)^2 = (A - B) \cdot(A - B) \\(A - B)^2 = AA - AB - BA + BB \\(A - B)^2 = A {}^{2} - AB - BA + B {}^{2} \end{cases}$

Como pode ser observado, além da expansão mostrada no enunciado estar errada, podemos ver também que caímos no mesmo caso da anterior, onde não podemos afirmar que o produto formado através da expansão não é igual, já que não cumpre com a comutatividade.

• Terceira afirmação:

Nesta afirmação, é dito que o produto entre uma matriz A de ordem n, com uma matriz identidade I de mesma ordem, sempre gera a matriz A.

Para analisar se isto é verdade, vamos fazer um exemplo com um caso hipotético de matrizes.

$\: \: \: \: C = \begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix} \: \: e \: \: I = \begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix} \\ \\ A \cdot I = \begin{bmatrix}a.1 + b.0&0.a + b.1\\c.1 + d.0&c.0 + d.1\end{bmatrix} \\ \\ C \cdot I = \begin{bmatrix}a&b\\c&d \end{bmatrix}$

• A multiplicação de uma matriz A qualquer pela matriz identidade $\bf I_n$ , tem como resultado a matriz A, ou seja: $\bf C . I_n = I_n . C = C$

Além disto, vale ressaltar que a multiplicação é comutativa neste caso, como pode ser observado acima.

Portanto, temos que esta afirmação é correta.

Espero ter ajudado

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