Question

(UF-AM) Um triângulo equilátero tem a medida do lado, seu perímetro e sua área em Progressão Geo- métrica. A área deste triângulo mede: a) 108V3 u.a. d) 128-V3 u.a. b) 21613 u.a. e) 64V3 u.a. c) 54V3 u.a.​

Answer 1

Resposta:

$Area=108{\sqrt{3}$   u.a.  logo a )

Explicação passo a passo:

Observação 1 → Triângulo equilátero é aquele em que as dimensões de

seus lados são todas iguais.

Observação 2 → Num triângulo equilátero a altura, que é perpendicular à

base, divide esta base em dois segmentos iguais.

Também divide  o triângulo equilátero em dois triângulos retângulos

iguais.

Observação 3 → Potenciação e radiciação

Elevar , ao quadrado , uma raiz quadrada o valor que fica é apenas o

da base de potência no radicando.

Porque a potenciação e a radiciação são operações inversas que se

cancelam mutuamente, quando estão em simultâneo

Exemplo

$(\sqrt{3})^2=3$

Será então:

Lado ; Perímetro ; Área     Progressão Geométrica ( P. G. )

Representando Lado por " L "

Perímetro = 3 * L  

A P.G. começa por ficar :     L ; 3 L ; Área

$Area...triangulo=\dfrac{base*altura}{2}=\dfrac{base}{2} *altura$

A base sabemos que é a medida de um lado . Base = L

Cálculo da altura.

Esboço do triângulo equilátero

                C

                 º

            º    |     º  

       º         |         º

  º              |               º

ººººººººººººººººººººººººº

A               D                   B

Dados:

AB = BC = AC    por ser triângulo equilátero

AD = altura, vou chamar-lhe " h "

ângulo ADB é retângulo

AD = DB = L /2  

Cálculo da altura ( h )

Usando o Teorema de Pitágoras

$BC^2=CD^2+DB^2$

$L^2=h^2+(\dfrac{L}{2}) ^2$

$L^2-(\dfrac{L}{2}) ^2 =h^2$

$L^2-\dfrac{L^2}{2^2} =h^2$

$\dfrac{L^2}{1} -\dfrac{L^2}{4} =h^2$

$\dfrac{4*L^2}{1*4} -\dfrac{L^2}{4} =h^2$

$\dfrac{4L^2-L^2}{4} =h^2$

$\dfrac{3L^2}{4} =h^2$

$\sqrt{\dfrac{3L^2}{4} } =h$  

$h = \dfrac{\sqrt{3} *\sqrt{L^2} }{\sqrt{4} } =\dfrac{\sqrt{3} *L}{2}$                

A área do triângulo equilátero fica

$Area=\dfrac{base}{2} *h$            Base é  L do triângulo equilátero

$Area=\dfrac{L}{2} *\dfrac{\sqrt{3}*L }{2}=\dfrac{\sqrt{3}*L*L }{2*2}=\dfrac{\sqrt{3}*L^2 }{4}$      ( I )

A   P. G. ficará

$L;3L;\dfrac{\sqrt{3}*L^2 }{4}$           L ; 3 L ; Área

Numa PG a razão é o valor de um termo a dividir pelo anterior

$razao...desta...PG=\dfrac{3L}{L} =3$

O termo geral de uma P.G. é

$a_{n} =a_{1} *q^{n-1}$        ( q =  razão da PG )

Sendo a área o terceiro termo ficará

$area=L*3^{(3-1)}=L*3^2=9L$  

Pegando em ( I )

$\dfrac{\sqrt{3}*L^2 }{4}=9L$

Calculemos o L  ( lado )

$\dfrac{\sqrt{3}*L^2 }{4}=\dfrac{9L}{1}$

produto cruzado  

$\sqrt{3}*L^2 =4*9L$

dividindo ambos os membros por L

$\dfrac{\sqrt{3}*L^2 }{L} =\dfrac{36L}{L}$

$\sqrt{3}*L=36$

dividindo ambos os membros por √3

$L=\dfrac{36}{\sqrt{3} }$

Para racionalizar o denominador multiplica-se ambos os termos da fração

por √3

$L=\dfrac{36*\sqrt{3} }{\sqrt{3}*\sqrt{3} }=\dfrac{36\sqrt{3} }{(\sqrt{3})^2 } =\dfrac{36\sqrt{3} }{3} =\dfrac{36:3\sqrt{3} }{3:3}=12\sqrt{3}$

Tínhamos a Área , em ( I )

$Area=\dfrac{\sqrt{3}*L^2 }{4}$

Sabemos a dimensão do L

$Area=\dfrac{\sqrt{3}*(12\sqrt{3} )^2 }{4}$

$Area=\dfrac{\sqrt{3}*12^2*(\sqrt{3})^2 }{4}$

$Area=\dfrac{\sqrt{3}*144*3 }{4}$

$Area=\dfrac{\sqrt{3}*432 }{4}$

Dividindo numerador e denominador por 4

$Area=\dfrac{\sqrt{3}*432:4 }{4:4}$

$Area=108{\sqrt{3}$ u.a. logo a )

Bons estudos.

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( * ) multiplicação        ( u.a. ) unidades de área     ( : )  divisão

Nas minhas respostas mostro e explico os passos dados na resolução, para que o usuário seja capaz de aprender e depois fazer, por ele, em casos idênticos.

O que eu sei, eu ensino.