Question

URGENTE 100 PONTOS! NÚMEROS COMPLEXOS

Answer 1

Resposta:

$\textsf{Leia abaixo}$

Explicação passo a passo:

$\mathsf{\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2} - \dfrac{i}{2}\right)^{100}}$

$\mathsf{\rho = \sqrt{a^2 + b^2}}$

$\mathsf{\rho = \sqrt{(\sqrt{3}/2)^2 + (-1/2)^2}}$

$\mathsf{\rho = \sqrt{3/4 + 1/4}}$

$\mathsf{\rho = \sqrt{4/4}}$

$\mathsf{\rho = \sqrt{1}}$

$\mathsf{\rho = 1}$

$\mathsf{cos\:\Theta = \dfrac{a}{\rho} = \dfrac{\sqrt{3}/2}{1} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}}$

$\mathsf{sen\:\Theta = \dfrac{b}{\rho} = \dfrac{-1/2}{1} = -\dfrac{1}{2}}$

$\mathsf{\Theta = 330\textdegree = \dfrac{11\pi }{6}}$

$\mathsf{\rho\: \left(cos\:\Theta + i\: sen\:\Theta\right)}$

$\mathsf{1\: \left(cos\:\dfrac{11\pi }{6} + i\: sen\:\dfrac{11\pi }{6}\right)^{100}}$

$\mathsf{1^{100}\: \left(cos\:\dfrac{100.11\pi }{6} + i\: sen\:\dfrac{100.11\pi }{6}\right)}$

$\mathsf{\left(cos\:\dfrac{550\pi }{3} + i\: sen\:\dfrac{550\pi }{3}\right)}$

$\boxed{\boxed{\mathsf{\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2} - \dfrac{i}{2}\right)^{100} = \left(-\dfrac{1}{2} - \dfrac{\sqrt{3}}{2}\:i\right)}}}$

$\mathsf{(-1 + i)^6}$

$\mathsf{\rho = \sqrt{a^2 + b^2}}$

$\mathsf{\rho = \sqrt{(-1)^2 + (1)^2}}$

$\mathsf{\rho = \sqrt{1 + 1}}$

$\mathsf{\rho = \sqrt{2}}$

$\mathsf{cos\:\Theta = \dfrac{a}{\rho} = -\dfrac{1}{\sqrt{2}} = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}}$

$\mathsf{sen\:\Theta = \dfrac{b}{\rho} = \dfrac{1}{\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}}$

$\mathsf{\Theta = 135\textdegree = \dfrac{3\pi }{4}}$

$\mathsf{\rho\: \left(cos\:\Theta + i\: sen\:\Theta\right)}$

$\mathsf{\sqrt{2}\: \left(cos\:\dfrac{3\pi }{4} + i\: sen\:\dfrac{3\pi }{4}\right)^{6}}$

$\mathsf{(\sqrt{2})^{6}\: \left(cos\:\dfrac{6.3\pi }{4} + i\: sen\:\dfrac{6.3\pi }{4}\right)}$

$\mathsf{8 \left(cos\:\dfrac{9\pi }{2} + i\: sen\:\dfrac{9\pi }{2}\right)}$

$\boxed{\boxed{\mathsf{(-1 + i)^6 = 8i}}}$