Matéria: Matemática
Autor: mamaelam
Perguntado 3 anos atrás

e 2) Dos 95 alunos de uma turma, 15 foram reprovados em Matemática, 11 em Física e 10 em Química. Oito alunos foram reprovados simultaneamente em Matemática e Física, seis em Matemática e Química e quatro em Física e Química. Sabendo que 3 alunos foram reprovados nas três disciplinas, determine quantos alunos não foram reprovados em nenhuma dessas disciplinas.

Respostas

respondido por: Júnior

De acordo com o Diagrama de Venn em anexo, o número de alunos aprovados foi 74.

O primeiro passo é escrever a quantidade de alunos que foram reprovados em cada matéria:

Matemática: 15 alunos
Física: 11 alunos
Química: 10 alunos
Matemática e Física: 8 alunos
Matemática e Química: 6 alunos
Física e Química: 4 alunos
Matemática, Física e Química: 3 alunos
Total de alunos da turma: 95

Sabendo disso, podemos desenhar um Diagrama de Venn para representar essa situação, conforme você pode ver o diagrama 1 (em anexo).

Perceba que nesse diagrama, alguns valores são contados mais de uma vez (porque eles se repetem). Por exemplo:

dos 8 alunos reprovados em matemática e física (amarelo), já estamos contabilizando 3 deles (branco) porque foram reprovados nas três disciplinas simultaneamente. Portanto, devemos desconsiderar 3 alunos desse total.
O mesmo raciocínio vale para os 4 alunos reprovados em física e química (roxo), assim como os 6 alunos em matemática e química (ciano).

Logo, devemos retirar 3 alunos das partes em amarelo, ciano e roxo (você pode ver isso no diagrama 2).

Fazendo isso, iremos obter o diagrama 3. Nessa mesma imagem, devem ser realizadas outras subtrações seguindo o mesmo raciocínio, veja um exemplo:

15 alunos foram reprovados em matemática (verde-claro), porém sabemos que 5 deles também foram reprovados em física (amarelo), 3 em química (ciano) e 3 em física e química (branco). Como esses valores já estão incluídos, devemos excluí-los.

(Em outras palavras, perceba que os conjuntos verde-claro, amarelo e branco estão contidos no conjunto verde que representa os reprovados em matemática).

Seguindo o raciocínio acima para os três conjuntos, iremos obter o diagrama 4. Os resultados dessas subtrações estão disponíveis no diagrama 5.

Agora, todos os valores estão sendo considerados uma única vez. Podemos escrever a quantidade de alunos reprovados como:
$\mathrm{reprovados=(Mat \cap Fis)+(Mat \cap Qui)+(Fis \cap Qui)+(Mat \cap Fis \cap Qui)+Mat+Fis+Qui}\\\mathrm{reprovados=5+3+1+3+4+2+3}\\\mathrm{reprovados=21}$

Para finalizar falta apenas calcular o número de alunos aprovados, veja:
$\mathrm{aprovados=(Matematica \cup Fisica \cup Quimica)-reprovados}\\\mathrm{aprovados=95-21}\\\mathrm{aprovados = 74\:alunos}$