Question

Calcule a integral $\int\limits^ {} \, \frac{1}{x^3 + x} dx$

Answer 1

Resposta:

$ln|x|-\frac{1}{2}ln(x^2+1)+c$

Explicação passo a passo:

$\displaystyle\int \frac{1}{x^3+x} dx\\\\\frac{1}{x^3+x}=\frac{1}{x(x^2+1)}=\frac{A}{x}+\frac{Bx}{x^2+1} =\frac{A(x^2+1)+Bx^2}{x(x^2+1)}\implies~\\\\A(x^2+1)+Bx^2=1$

p/x = 0 ⇒ A = 1

p/x = 1 ⇒ B = -1

$\displaystyle\int \frac{1}{x^3+x}dx= \displaystyle\int (\frac{1}{x}-\frac{x}{x^2+1})dx$

x² + 1 = u ⇒ 2xdx = du ⇒ xdx = du/2

$\displaystyle\int (\frac{1}{x} -\frac{x}{x^2+1})dx=ln|x| -\displaystyle\int \frac{\frac{1}{2}du }{u} =|lnx|-\frac{1}{2} ln|u| + c = ln|x|-\frac{1}{2}ln(x^2+1)+c$

OBS: x² + 1 > 0, portanto não precisa figurar em módulo.