sabendo que 9 sen² x +18.cos² x=13,com x no 1* quadrante. Calcule sen x e cos x.

sempararsandra: resposta

Respostas

respondido por: Vicktoras

Por meio dos cálculos realizados, chegamos a seguinte conclusão:

$\boxed{\bf \sin(x) = \frac{\sqrt{5}}{3}}$ e $\boxed{\bf \cos(x) = \frac{2}{3}}$

Explicação:

Temos a seguinte equação trigonométrica:

$\: \: \: \: \: \:\:\:\:\:\:\:\:\boxed{ 9 \sin {}^{2} x + 18 \cos {}^{2}(x) = 13}$

O objetivo é determinarmos o valor de x, sabendo que ele se encontra no 1° quadrante.

Relação fundamental datrigonometria:

Esta relação citada acima é dada por:

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \sin {}^{2} (x) + \cos {}^{2} (x) = 1$

Fazendo uma pequena manipulação de forma a obter o cosseno em função do seno:

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \cos {}^{2} (x) = 1 - \sin {}^{2} (x)$

Feito isso, surge a possibilidade de fazermos uma pequena substituição na equação dada na questão, portanto:

$\begin{cases}9 \sin {}^{2}(x) + 18.[1 - \sin {}^{2}(x) ] = 13 \\ 9 \sin {}^{2} (x) + 18 - 18 \sin {}^{2} (x) = 13 \\ - 9 \sin {}^{2} (x) = 13 - 18 \\ - 9 \sin {}^{2} (x) = - 5 \\ \sin {}^{2} (x) = \frac{5}{9} \\ \sin(x) = \pm \sqrt{ \frac{5}{9} } = \pm \frac{ \sqrt{5} }{3} \end{cases}$

A questão nos informa que x se encontra no primeiro quadrante, e como sabemos o seno é positivo neste, ou seja, só é definida para valores positivos, então podemos descartar o negativo obtido anteriormente. Logo:

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \boxed{ \sin(x) = \frac{ \sqrt{5} }{3}} \\$

Determinamos o valor do seno e com isto podemos descobrir o cosseno, substituindo o mesmo na relação fundamental.

$\begin{cases} \sin {}^{2} (x) + \cos {}^{2} (x) = 1 \\ \left( \frac{ \sqrt{5} }{3} \right) ^{2} + \cos {}^{2}(x) = 1 \\ \frac{5}{9} + \cos {}^{2} (x) = 1 \\ \cos {}^{2}(x) = 1 - \frac{5}{9} \\ \cos {}^{2}(x) = \frac{4}{9} \\ \cos(x) = \pm \sqrt{ \frac{4}{9} } = \pm \frac{2}{3} \end{cases}$