Question

O lado de um triangulo equilátero mede 3M . Unindo-se os pontos médios de seus lados,obtem-se um novo triângulo equilátero.Unindo-se os pontos médios do novo triângulo,obtem-se outro triângulo equilátero e,assim sucessivamente. Determine a soma dos perímetros de todos os triângulos construídos.

Answer 1

L1=3   L2=3/2  L3=3/4......

2P1=3x3=9    2P2=3x3/2=9/2   2P3=3x 3/4=9/4  

q=9/2/9    q=1/2    

Sp= 9/(1-1/2)=9/1/2   Sp=18 m 

Answer 2

Como os triângulos são equiláteros, toda vez que ligarmos seus pontos médios, formaremos um triângulo equilátero com lados medindo a metade do anterior. Assim, o perímetro de cada triângulo formado terá a metade da área do anterior.

Portanto, o que temos aqui é uma progressão geométrica decrescente, pois cada termo, a partir do segundo, tem a metade do termo anterior, seguindo uma constante.

Essa constante é a razão da progressão. No caso, será 1/2 (metade).

q = 1/2

A soma de uma progressão geométrica é dada por:

Sn = a₁ / 1 - q

a₁: primeiro termo da progressão

O primeiro perímetro é 15 m (3 + 3 + 3).

a₁ = 15

Sn = a₁ / 1 - q

Sn = 15 / 1 - 1/2

Sn = 15 / 1/2

Sn = 30

Resposta: a soma dos perímetros de todos os triângulos construídos é de 30 m.