Question

Determine a equação geral do plano tangente, bem como a equação vetorial da reta normal ao elipsoide de equação (3/4)x² + 3y² + z² = 12, passando pelo ponto de tangência
$T(2, 1, \sqrt{6})$
O ponto de tangência é 2, 1, e raiz quadrada de 6.​

Answer 1

✅ Após ter desenvolvido todos os cálculos, concluímos que a equação geral do plano tangente à superfície do elipsoide bem como a equação vetorial da reta normal passando pelo ponto "T", são, respectivamente:

                 $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf \pi: 3x + 6y + 2\sqrt{6}z = 24\:\:\:}}\end{gathered} }$

    $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf r: (x, y, z) = (2, 1, \sqrt{6}) + \lambda(3, 6, 2\sqrt{6})\:\:\:}}\end{gathered} }$  

Sejam os dados:

                $\Large\begin{cases} e: \dfrac{3}{4}x^{2} + 3y^{2} + z^{2} = 12\\T(2, 1, \sqrt{6})\end{cases}$

Sabendo que para determinar a equação geral do plano "π" tangente à superfície de nível, precisamos do vetor normal "n" ao referido plano e o ponto de tangencia "T" entre o plano e a superfície, ou seja, precisamos dos seguintes itens:

                   $\Large\begin{cases} \vec{n} = (X_{n}, Y_{n}, Z_{n})\\T(X_{T}, Y_{T}, Z_{T})\end{cases}$

Sabendo que a equação geral do plano pode ser montada sobre a seguinte fórmula:

$\Large\displaystyle\begin{gathered}\bf(I) \end{gathered}$         $\large\displaystyle\begin{gathered} X_{n}\cdot X + Y_{n}\cdot Y + Z_{n}\cdot Z = X_{n}\cdot X_{T} + Y_{n}\cdot Y_{T} + Z_{n}\cdot Z_{T}\end{gathered}$

OBSERVAÇÃO: A função "f" - que vou me referir a partir de agora - se refere a função que representa o elipsoide "p".

Para montar a referida equação do plano devemos utilizar as seguintes etapas:

• Calcular a derivada parcial da função em termos de "x".

          $\Large\displaystyle\begin{gathered} \frac{\partial f}{\partial x} = \frac{3}{4}\cdot2\cdot x^{2 - 1} = \frac{6}{4}x = \frac{3}{2}x \end{gathered}$

• Calcular a derivada parcial da função em termos de "y".

          $\Large\displaystyle\begin{gathered} \frac{\partial f}{\partial y} = 3\cdot2\cdot y^{2 - 1} = 6y\end{gathered}$

• Calcular a derivada parcial da função em termos de "z".

           $\Large\displaystyle\begin{gathered} \frac{\partial f}{\partial z} = 2\cdot z^{2 - 1} = 2z\end{gathered}$

• Montar o vetor gradiente.

           $\Large\displaystyle\begin{gathered} \nabla f(x, y, z) = \Bigg(\frac{\partial f}{\partial x},\:\frac{\partial f}{\partial y},\:\frac{\partial f}{\partial z}\Bigg)\end{gathered}$

                                    $\Large\displaystyle\begin{gathered} = \Bigg(\frac{3}{2}x,\:6y,\:2z\Bigg)\end{gathered}$

           Portanto, o vetor gradiente é:

           $\Large\displaystyle\begin{gathered} \nabla f(x, y, z) = \Bigg(\frac{3}{2}x,\:6y,\:2z\Bigg)\end{gathered}$

• Montar o vetor normal.

        Sabemos que o vetor normal é igual ao vetor gradiente aplicado ao ponto "T", ou seja:

              $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \vec{n_{\pi}} = \nabla f(T)\end{gathered} }$

                     $\Large\displaystyle\begin{gathered} = \Bigg(\frac{\partial f}{\partial x}\cdot X_{T},\:\frac{\partial f}{\partial y}\cdot Y_{T},\:\frac{\partial f}{\partial z}\cdot Z_{T}\Bigg)\end{gathered}$

                     $\Large\displaystyle\begin{gathered} = \Bigg(\frac{3}{2}\cdot2,\:6\cdot1,\:2\cdot\sqrt{6}\Bigg)\end{gathered}$

                     $\Large\displaystyle\begin{gathered} = (3,6,2\sqrt{6})\end{gathered}$

         Portanto, o vetor normal à superfície pelo ponto "T" é:

              $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \vec{n_{\pi}} = (3,6,2\sqrt{6})\end{gathered} }$

• Montar a equação geral do plano tangente.

        Substituindo os valores na equação "I", temos:

          $\Large\displaystyle\begin{gathered} 3\cdot x + 6\cdot y + 2\sqrt{6}\cdot z = 3\cdot2 + 6\cdot1 + 2\sqrt{6}\cdot\sqrt{6}\end{gathered}$

                      $\Large\displaystyle\begin{gathered} 3x + 6y + 2\sqrt{6}z = 6 + 6 + 12\end{gathered}$

                      $\Large\displaystyle\begin{gathered} 3x + 6y + 2\sqrt{6}z = 24\end{gathered}$

✅ Portanto, a equação do plano tangente à superfície é:

               $\Large\displaystyle\begin{gathered} \pi: 3x + 6y + 2\sqrt{6}z = 24\end{gathered}$

Para montar a equação vetorial da reta normal à superfície pelo ponto "T", devemos possuir o vetor diretor "v" e o ponto "T". Então:

                 $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \vec{v_{r}} = \vec{n_{\pi}} = (3, 6, 2\sqrt{6})\end{gathered} }$

Sabendo que podemos determinar a equação vetorial da reta utilizando a seguinte fórmula:

$\Large\displaystyle\begin{gathered}\bf(II) \end{gathered}$        $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} P = T - \lambda \vec{v_{r}},\:\:\:\textrm{com}\:\lambda\in\mathbb{R}\:\:\:e\:\:\:\vec{v_{r}} \neq\vec{0}\end{gathered} }$

✅ Substituindo os valores na equação "II", temos a seguinte equação vetorial da reta normal:

          $\Large\displaystyle\begin{gathered} r: (x, y, z) = (2, 1, \sqrt{6}) + \lambda(3, 6, 2\sqrt{6})\end{gathered}$

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Solução gráfica: