Question

Dada as equações das circunferências secantes x²+y²-40x+40y+700=0 e x²+y²-120x-40y+1500=0, onde A e B são os pontos de intersecção dessas circunferências, determine, aproximadamente, a distância entre os pontos A e B.

Answer 1

Observe a figura em anexo.

Colocando as equações na forma reduzida para obtermos os raios e as coordenadas dos centros:

$\bullet~~\gamma_{1}:~~x^2+y^2-40x+40y+700=0\\\\ \gamma_{1}:~~x^2-40x+y^2+40y=-700\\\\ \gamma_{1}:~~x^2-40x+400+y^2+40y+400=-700+400+400\\\\ \gamma_{1}:~~(x^2-40x+400)+(y^2+40y+400)=100\\\\ \boxed{\begin{array}{c} \gamma_{1}:~~(x-20)^2+(y+20)^2=10^2 \end{array}}$


$\gamma_{1}$ é uma circunferência com centro em $C_{1}(20,\;-20)$ e raio $R_{1}=10.$


$\bullet~~\gamma_{2}:~~x^2+y^2-120x-40y+1\,500=0\\\\ \gamma_{2}:~~x^2-120x+y^2-40y=-1\,500\\\\ \gamma_{2}:~~x^2-120x+3\,600+y^2-40y+400=-1\,500+3\,600+400\\\\ \gamma_{2}:~~(x^2-120x+3\,600)+(y^2-40y+400)=2\,500\\\\ \boxed{\begin{array}{c} \gamma_{2}:~~(x-60)^2+(y-20)^2=50^2 \end{array}}$

$\gamma_{2}$ é uma circunferência com centro em $C_{2}(60,\;20)$ e raio $R_{2}=50.$

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Seja $d$ a distância entre os centros $C_1$ e $C_2$ das duas circunferências:

$d=\|(60,\;20)-(20,\;-20)\|\\\\ d=\|(60-20,\;20-(-20))\|\\\\ d=\|(40,\;40)\|\\\\ d=\sqrt{40^2+40^2}\\\\ d=\sqrt{2\cdot 40^2}\\\\ d=40\sqrt{2}\mathrm{~u.c.}$

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Sendo $x=\mathrm{med}(AB)$ a distância procurada, aplicando a Lei dos Cossenos ao triângulo $AC_{1}C_{2},$ temos que

$R_2^2=R_1^2+d^2-2R_1\cdot d\cdot \cos \theta\\\\ 2R_1\cdot d\cdot \cos \theta=R_{1}^2+d^2-R_2^2\\\\ \cos \theta=\dfrac{R_{1}^2+d^2-R_2^2}{2\,R_1\cdot d}\\\\\\ \cos \theta=\dfrac{10^2+(40\sqrt{2})^2-50^2}{2\cdot 10\cdot 40\sqrt{2}}\\\\\\ \cos \theta=\dfrac{100+3\,200-2\,500}{800\sqrt{2}}\\\\\\ \cos \theta=\dfrac{800}{800\sqrt{2}}\\\\\\ \cos \theta=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\\\\\\ \cos \theta=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$


Como $\theta$ é ângulo interno de um triângulo, temos $0< \theta < \pi.$ E dessa forma,

$\theta=\dfrac{\pi}{4}~~\Rightarrow~~\mathrm{sen\,}\theta=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$

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Finalmente, temos que

$\dfrac{x}{2}=R_1\cdot \mathrm{sen\,}\theta\\\\\\ x=2\,R_1\cdot \mathrm{sen\,}\theta\\\\ x=2\cdot 10\cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2}\\\\\\ x=10\sqrt{2}\\\\ \boxed{\begin{array}{c} x\approx 14,1~\mathrm{u.c.} \end{array}}$