Question

O tempo necessário aproximado pra que 30000g de certa substância radioativa, que se desintegra a taxa de 4% ao ano , se reduza a 1200g.

Answer 1

Olá!

Resposta:

Aproximadamente $\boxed{\texttt{78 anos e 10 meses}}$.

Explicação passo a passo:

Seja 30000g a massa inicial da substância. Após um ano a massa passa a ser...

$\\ \mathtt{M_1 = 30000 - \frac{4}{100} \cdot 30000} \\\\ \mathtt{M_1 = 30000 \cdot \left ( 1 - \frac{4}{100} \right )}$

Após dois anos...

$\\ \mathtt{M_2 = M_1 - \frac{4}{100}M_1} \\\\ \mathtt{M_2 = M_1 \cdot \left ( 1 - \frac{4}{100} \right )} \\\\ \mathtt{M_2 = 30000 \cdot \left ( 1 - \frac{4}{100} \right )^2}$

Após três anos...

$\\ \mathtt{M_3 = M_2 - \frac{4}{100}M_2} \\\\ \mathtt{M_3 = M_2 \cdot \left ( 1 - \frac{4}{100} \right )} \\\\ \mathtt{M_3 = 30000 \cdot \left ( 1 - \frac{4}{100} \right )^3}$

Após "t" anos...

$\boxed{\mathtt{M_t = 30000 \cdot \left ( 1 - \frac{4}{100} \right )^t}}$

Daí,

$\\ \mathtt{M_t = 30000 \cdot \left ( 1 - \frac{4}{100} \right )^t} \\\\ \mathtt{1200 = 30000 \cdot 0,96^t} \\\\ \mathtt{0,96^t = 0,04} \\\\ \mathtt{\log_{0,96} 0,04 = t} \\\\ \mathtt{t = \dfrac{\log 0,04}{\log 0,96}} \\\\\\ \mathtt{t = \dfrac{\log \left ( \dfrac{4}{100} \right )}{\log \left ( \frac{96}{100} \right )}}$

$\\ \mathtt{t = \dfrac{\log 4 - \log 100}{\log 96 - \log 100}} \\\\\\ \mathtt{t \approx \dfrac{0,60206 - 2}{1,98227 - 2}} \\\\\\ \mathtt{t \approx \dfrac{- 1,39794}{- 0,01773}} \\\\\\ \boxed{\boxed{\mathtt{t \approx 78,84602 \ anos}}}$