Question

Quando sobre o desenvolvimento histórico do cálculo dois matemáticas são lembrados, Leibniz e Newton. Eles foram responsáveis por explorar a relação inversa entre uma derivada e integral e usaram para desenvolver o calculo como um método matemático sistemático. Considere uma integral: Considere uma integral: ∫(3x^2+2x) dx.

Assinale a alternativa que contem o resultado correto da integral:

A) 3x^3 + 2x^2.
B) 6x + x^2 + C.
C) 3x^2 + 2x^2 + C.
D) 6x +2 + C.
E) x^3 + x^2 + C.

Answer 1

De acordo com os dados do enunciado e realizados os cálculos concluímos que a integral indefinida é, e que corresponde alternativa correta a letra E.

$\large \displaystyle \text { \mathsf{ \int (3x^{2} + 2x) \: dx = x^3 +x^2 + C } }$

Se F ( x ) é uma primitiva de f( x ), a expressão  F ( x ) +  C é chamada de integral indefinida da função f(x) e é denotada por:

$\Large \boxed{ \displaystyle \mathsf{ \int f(x) \: dx = F(x) + C } }$

Em que

∫ → é chamado sinal de integração.

f(x) →  é a função integrando.

dx→ é a diferencial que serve para identificar a variável de integração.

C → é a constante de integração.

Propriedades da Integral Indefinida para resolver o enunciado.

$\large \displaystyle \mathsf{ \bullet \: \: \int \: dx = x +C }$

$\large \displaystyle \mathsf{\bullet \: \: \int k\: dx = k \cdot \int dx = k \: x + C~ ~ com ~k \neq 0 }$

$\large \displaystyle \mathsf{ \bullet \: \: \int \big[ f(x) ~\pm ~ g(x) \big]\: dx = \int f(x)\: dx ~\pm ~ \int g(x) \: dx }$

$\large \displaystyle \mathsf{ \bullet \: \: \int \big[ f(x) ~\pm ~ g(x) \big]\: dx = \big[ F(x) ~\pm ~ G(x) \big]+ C }$

$\large \displaystyle \text { \mathsf{ \bullet \: \: \int x^n\: dx = \dfrac{x^{n+1}}{n+1} + C, \:\: com ~ n \neq -\; 1 } }$

Dados fornecidos pelo enunciado:

$\large \displaystyle \text { \mathsf{ \int (3x^{2} + 2x) \: dx } }$

Aplicando algumas propriedade, temos:

$\large \displaystyle \text { \mathsf{ \int (3x^{2} + 2x) \: dx } }$

$\large \displaystyle \text { \mathsf{ \int (3x^{2} + 2x) \: dx = 3 \int x^{2} \: dx + 2 \int x\: dx } }$

$\large \displaystyle \text { \mathsf{ \int (3x^{2} + 2x) \: dx = 3 \cdot \dfrac{x^{2+1}}{2+1} + 2 \cdot \dfrac{x^{1+1}}{1+1} + C } }$

$\large \displaystyle \text { \mathsf{ \int (3x^{2} + 2x) \: dx = \backslash\!\!\!{3 }\cdot \dfrac{x^{3}}{\backslash\!\!\!{3} } + \backslash\!\!\!{ 2} \cdot \dfrac{x^{2}}{\backslash\!\!\!{2}} + C } }$

$\Large \boldsymbol{ \displaystyle \sf \int (3x^{2} + 2x) \: dx = x^3 +x^2 + C }$

Alternativa correta é a letra E

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