O cálculo integral pode ser aplicado na física para determinar as equações do movimento. Com o auxílio do cálculo diferencial e integral, é possível relacionar as equações da posição, da velocidade e da aceleração de uma partícula. Neste Desafio, você vai analisar a posição de um objeto cuja fórmula recai em uma integral trigonométrica. Suponha que um objeto se mova em linha reta e sua velocidade é dada por: v(t) = sen t cos² t Onde vé dado em m/s. a) Determine a integral que representa a função posição s(t) desse objeto. b) Encontre a função posição s(t) quando s(0) = 0.

Respostas

respondido por: Vicktoras

Pelos cálculos realizados, chegamos a conclusão de que:

a) $\:\:\boxed{\bf S(t) = \int \sin(t). \cos {}^{2} (t) \: dt}$ ;
b) $\:\:\boxed{\bf S(t) = - \frac{ \cos {}^{3}(t) }{3} + \frac{1}{3}}$

Explicação

Temos a seguinte função velocidade:

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \:\:\:\boxed{V(t) = \sin(t) \cdot \cos {}^{2} (t)}$

O objetivo é determinarmos a função posição associada a velocidade.

V(t) como a derivada do S(t).

Na parte do estudo das derivadas, aprendemos que a função velocidade é a derivada da função espaço em relação ao tempo. Matematicamente:

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \bullet \: \: \: \frac{dS(t)}{dt} = V(t) \\$

Como temos a função velocidade, podemos substituir nesta expressão acima.

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \frac{dS(t)}{dt} = \sin(t) \cdot \cos {}^{2} (t) \\$

Vamos multiplicar ambos os lados desta equação pela diferencial do tempo.

$\: \: \: \:\frac{dS(t)}{dt} . dt = \sin(t). \cos {}^{2} (t)dt \\ \\ \: \: \: \: {dS(t)} = \sin(t). \cos {}^{2} (t) \: dt$

Esta expressão nos diz que em uma pequena variação infinitesimal do espaço em relação ao tempo, é dado pela expressão trigonométrica.

Como sabemos a integral indefinida soma infinitas partes, visando encontrar a expressão que representa o todo.

Portanto, vamos integrar ambas os lados:

$\int {dS(t)} = \int \sin(t). \cos {}^{2} (t) \: dt \\ \\ \boxed{\bf S(t) = \int \sin(t). \cos {}^{2} (t) \: dt}$

Portanto temos que esta é a integral pedida no item a).

Solução particular:

Para o item b), devemos encontrar o resultado desta integral acima. O método que vamos utilizar é basicamente a integração por substituição de variável.

Digamos então que $\bf u = \cos(t)$ , então vamos derivá-lo.

$u = \cos (t) \: \to \: \frac{du}{dt} = - \sin(t) \: \to \: - {du}= \sin(t) \: dt \\$

Substituindo os dados na integral:

$S(t) = \int \cos {}^{2} (t) . \sin(t)dt \: \to \: S(t) = \int u {}^{2} \cdot ( - du) \\ \\ S(t) = - \frac{u {}^{1 + 1} }{1 + 1} \: \: \to \: \: S(t) = - \frac{u {}^{3} }{3} \\ \\ S(t) = - \frac{ \cos {}^{3} (t)}{3} + C, C\in\mathbb{R}$

Problema do valor inicial:

No enunciado da questão, nos é fornecido uma condição, sendo ela $\bf S(0) = 0$ , portanto podemos encontrar a solução particular fazer substituição desta condição na expressão acima.

$S(t) = - \frac{ \cos {}^{3} (t)}{3} + C, \: S(0) = 0 \\ \\ 0 = - \frac{ \cos {}^{3}(0) }{3} + C \: \: \to \: \: 0 = - \frac{1}{3} + C \\ \\ \boxed{ C = \frac{1}{3} }$