Question

Considere as matrizes a seguir:
A= 2 1
2 4
b= x -1/6
-1/3 y


Sabendo que B é a matriz inversa de A e x e y são número reais, qual é o produto entre x e y?
A) 1/3.
B) 2/9.
C) 2/3.
D) 3/9.

Answer 1

O produto das matrizes, para ter como resultado a Matriz Identidade

de ordem 2, é possível quando x * y = 2/9

O produto de uma matriz pela sua matriz inversa tem como resultado

uma Matriz Identidade de ordem " n "

Aqui temos o produto de duas matrizes de ordem 2.

Vamos obter a matriz Identidade de ordem 2  → $I_{2}$

$I_{2}=\left[\begin{array}{ccc}1&0\\0&1\end{array}\right]$

Resolver a seguinte igualdade

  $\left[\begin{array}{ccc}2&1\\2&4\end{array}\right] *\left[\begin{array}{ccc}x&-\dfrac{1}{6} \\-\dfrac{1}{3} &y\end{array}\right]$   =   $\left[\begin{array}{ccc}1&0\\0&1\end{array}\right]$                          

Primeiro fazer a multiplicação das matrizes no 1º membro

$\left[\begin{array}{ccc}2*x+1*(-\dfrac{1}{3}) &2*(-\dfrac{1}{6})+1*y \\2*x+4*(-\frac{1}{3}) &2*(-\frac{1}{6})+ 4*y\end{array}\right]$ = $\left[\begin{array}{ccc}(2x-\dfrac{1}{3} )&(-\dfrac{2}{6}+y) \\(2x-\dfrac{4}{3})&(-\frac{2}{6}+4y )\end{array}\right]$

Simplificar      

$\left[\begin{array}{ccc}(2x-\dfrac{1}{3} )&(-\dfrac{1}{3}+y) \\(2x-\dfrac{4}{3})&(-\dfrac{1}{3}+4y )\end{array}\right]$    

Resolver a igualdade

$\left[\begin{array}{ccc}(2x-\dfrac{1}{3} )&(-\dfrac{1}{3}+y) \\(2x-\dfrac{4}{3})&(-\dfrac{1}{3}+4y )\end{array}\right] =\left[\begin{array}{ccc}1&0\\0&1\end{array}\right]$

Quando as matrizes são iguais , os elementos correspondentes têm de

ser iguais.

Assim

Primeira possibilidade, igualar valores da primeira linha

$2x-\dfrac{1}{3} =1$               $- \dfrac{1}{3}+y=0$

6x - 1 = 3                    - 1 + 3y = 0

6x = 4                          3y = 1

x = 4/6                          y = 1/3

x = 2/3

Segunda possibilidade , igualar valores da segunda linha

$2x-\dfrac{4}{3} =0$                                 $-\dfrac{1}{3} +4y=1$

$\dfrac{2x}{1} -\dfrac{4}{3} =\dfrac{0}{1}$                                 $-\dfrac{1}{3} +\dfrac{4y}{1} =\dfrac{1}{1}$

$\dfrac{3*2x}{3*1} -\dfrac{4}{3} =\dfrac{3*0}{3*1}$                       $-\dfrac{1}{3} +\dfrac{3*4y}{3*1} =\dfrac{3*1}{3*1}$

$\dfrac{6x}{3} -\dfrac{4}{3} =\dfrac{0}{3}$                                 $-\dfrac{1}{3} +\dfrac{12y}{3} =\dfrac{3}{3}$

Agora que em cada equação os denominadores são todos iguais,

podemos " retirá-los.

             

6x - 4 = 0                                       - 1 + 12y = 3

6x = 4                                              12y = 4

x = 4/6                                            y = 1/3    

x = 2/3

$x*y=\dfrac{2}{3} *\dfrac{1}{3} =\dfrac{2*1}{3*3} =\dfrac{2}{9}$

Logo  B)

Bons estudos.

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 ( * ) multiplicação

$\left[\begin{array}{ccc}1&0\\0&1\end{array}\right]$    matriz Identidade de ordem 2

Nas minhas respostas mostro e explico os passos dados na resolução, para que o usuário seja capaz de aprender e depois fazer, por ele, em casos idênticos.

O que eu sei, eu ensino.