Question

Algumas funções exigem manipulações matemáticas para ser possível calcular o limite. É o caso da função f(x)=(9x²-7x+2) . Ao calcular o limite dessa função é (imagem em anexo)

Answer 1

Por meio dos cálculos realizados, chegamos a conclusão de que este limite é $\boxed{ \bf\lim_{x\to\infty}9x^2-7x+2=\infty}$.

Explicação

Temos a seguinte função:

$\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: f(x) = 9x {}^{2} - 7x + 2$

O objetivo é determinarmos o valor do limite desta função, quando $\bf x\to\infty$.

• Teorema do limite no infinito:

De acordo este teorema, quando há uma divisão por um número muito grande, o resultado é que o limite vai para zero. Matematicamente:

• Seja n um inteiro positivo, então $\boxed{\bf \lim_{x\to\pm\infty} \frac{1}{x^n}=0}$.

Para comprovar isto e fixar esta ideia, vamos fazer uma pequena tabela de divisão.

$\boxed{ \small \frac{1}{10} = 0,1 \: \: \bigg | \: \: \frac{1}{100} = 0,01 \: \bigg | \: \frac{1}{1000} = 0,001 }$

• Observe que a medida que o denominador cresce, o resultado da divisão diminui.

Portanto é notável que se o denominador for infinito, o resultado da divisão será um número muito próximo de zero, que é basicamente o que é denotado no teorema citado.

• Manipulação algébrica:

Para resolver um limite, a primeira coisa que devemos fazemos é realizar a substituição do valor a qual o x tende, na função. Portanto:

$\lim_{x \to \infty} 9x {}^{2} - 7x + 2 \: \to \: \lim_{x \to \infty} 9.( \infty ) {}^{2} - 7. \infty + 2 \\ \\ \lim_{x \to \infty} \underbrace{ (2 + \infty )}_{ \infty } - \infty \: \to \: \lim_{x \to \infty} \underbrace{ (\infty - \infty )} _{ \rm indeterminado}$

A soma de infinito com infinito é definida, mas a subtração não, uma vez que os infinitos podem ser iguais, assim como podem não ser, ou seja, nada pode se afirmar da subtração.

$\infty + \infty = \infty \: \: \bigg | \: \: \infty - \infty = \rm indeterminado$

Portanto para sumir com esta indeterminação podemos usar o algebrismo.

• Normalmente para limites do tipo $\boxed{\bf \lim_{x\to\pm\infty}f(x)}$, sendo f(x) uma função polinomial, a saída é colocar em evidência o termo com a variável de maior expoente.

No nosso caso, o termo de maior potência é $\bf x^2$, sendo assim:

$\: \: \: \: \: \: \lim_{x \to \infty}x {}^{2} \cdot \left(9 - \frac{7x}{x {}^{2} } + \frac{2}{x {}^{2} } \right) \\ \\ \: \: \: \: \: \: \lim_{x \to \infty}x {}^{2} \cdot \left(9 - \frac{7}{x {}^{} } + \frac{2}{x {}^{2} } \right)$

Observe que podemos aplicar a ideia do Teorema citado no primeiro tópico. Logo:

$\lim_{x \to \infty}x {}^{2} \cdot \left(9 - \cancel{\frac{7}{x {}^{} } {}^{0} } + \cancel{\frac{2}{x {}^{2} } } {}^{0} \right) \: \to \: \lim_{x \to \infty} x {}^{2} .9$

Certamente acabamos com a indeterminação, por consequência podemos substituir mais uma vez o valor a qual o x tende.

$\lim_{x \to \infty} 9.x {}^{2} \: \to \: \lim_{x \to \infty} 9.( \infty ) {}^{2} \: \to \: \lim_{x \to \infty} \infty$

O limite de uma constante é a própria constante e como infinito é uma constante, temos então:

$\: \: \: \: \: \: \: \: \boxed{\lim_{x \to \infty} 9x {}^{2} - 7x + 2 = \infty }$

Espero ter ajudado

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