Question

COM CÁLCULO PFV


1) Escrevendo a sequência da palavra ALUNO em ordem alfabética, que anagrama ocupará a 62ª posição na sequência?




2)Com os algarismos 3,3,5,5,5,6,7,8,8,8 quantos números pares, com 10 algarismos,podem ser escritos?




3)Os quatro quadrantes de um círculo devem ser pintados,disponfo-se de cinco cores diferentes.De quantos modos isso poderá ser feito se quadrantes cuja fronteira e uma linha devem ser da mesma cor?






4)Um dominó,onde os números que aparecem nas peças variam de zero a seis, 28 pedras contendo dois valores.quantas serão as pedras,do mesmo tipo,num dominó em que os números variam de zero a nove?


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Answer 1

1)

Se tivermos A como primeira letra, teremos:

A . 4 . 3 . 2 . 1 = 24 possibilidades

A 25ª possibilidade possui L como primeira letra. Neste caso:

L . 4 . 3 . 2 . 1 = 24 possibilidades

Aqui já cobrimos 48 possibilidades no total, mas não chegamos no 62. Se tivermos N como primeira letra:

N . 4 . 3 . 2 . 1 = 24 possibilidades

Então os anagramas entre 49 e 72 possuem N como primeira letra.

Agora partimos para encontrar a 2ª letra. Começamos com A:

N . A . 3 . 2 . 1 = 6 possibilidades

Isso compreende os anagramas entre 49 e 54.  Agora com L:

N . L . 3 . 2 . 1 = 6 possibilidades

Isso compreende os anagramas entre 55 e 60. Logo, a segunda letra só pode ser O:

N . O . 3 . 2 . 1 = 6 possibilidades

Isto compreende os anagramas entre 61 e 66. Partimos assim para a terceira letra. Começando com A:

N . O . A . 2 . 1 = 2 possibilidades

Ou seja, os anagramas 61 e 62 possuem A como terceira letra. É o nosso caso.

Para a quarta letra só temos duas possibilidades: L e U. Começamos com L:

N . O . A . L . U = 1 possibilidade (anagrama 61)

N . O . A . U . L = 1 possibilidade (anagrama 62)

Assim, NOAUL é a resposta que estamos procurando.

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2)

Nesse exercício temos um total de 5 dígitos distintos (3,5,6,7 e 8) para ocuparem 10 posições. Se trata de um caso de permutação com repetição dos dígitos:

$P_{n}^{n_1, n_2, n_3,...} = \dfrac{n!}{n_1! \cdot n_2! \cdot n_3! ...}$

onde:

$P_{n}^{n_1, n_2, n_3,...}$ é o número de permutações;

$n$ é o número de dígitos a serem preenchidos;

$n_1,n_2, n_3...$ é o número de repetições de cada dígito.

Para ser par, o último dígito deve ser divisível por 2. Temos apenas duas opções neste caso: 6 e 8.

Contudo, só podemos usar um 6.

Primeira parte: Se 6 for o último dígito:

_ . _ . _ . _ . _ . _ . _ . _ . _ . 6

Neste caso:

3 aparece 2 vezes

5 aparece 3 vezes

7 aparece 1 vez

8 aparece 3 vezes.

Teremos 9 dígitos a preencher utilizando 4 algarismos distintos. O número de permutações nesse caso é:

$P_{9}^{2,3,1,3} = \dfrac{9!}{2! \cdot 3! \cdot 1! \cdot 3!}$

$P_{9}^{2,3,1,3} = \dfrac{9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4}{2 \cdot 6}$

$P_{9}^{2,3,1,3} = 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 5 \cdot 2$

$P_{9}^{2,3,1,3} = 5040 \text{ possibilidades}$

Segunda parte: Considerando que o último dígito seja 8.

_ . _ . _ . _ . _ . _ . _ . _ . _ . 8

Nesse caso, teremos 9 algarismos a preencher utilizando 5 dígitos distintos:

Neste caso:

3 aparece 2 vezes

5 aparece 3 vezes

6 aparece 1 vez

7 aparece 1 vez

8 aparece 2 vezes (excluindo 1 vez como último dígito).

Assim:

$P_{9}^{2,3,1,1,2} = \dfrac{9!}{2! \cdot 3! \cdot 1! \cdot 1! \cdot 2!}$

$P_{9}^{2,3,1,1,2} = \dfrac{9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4}{4}$

$P_{9}^{2,3,1,1,2} = 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5$

$P_{9}^{2,3,1,1,2} = 15120 \text{ possibilidades}$

Somando as possibilidades:

P = 5040 + 15120 = 20160 possibilidades

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3) A resposta desse problema pode ser encontrada no link a seguir:

https://brainly.com.br/tarefa/21136508

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4)

Esse é um exercício de combinação simples, mas temos que considerar que haverão peças com os dois valores iguais.

A fórmula da combinação é:

$C_n^p = \dfrac{n!}{(n-p)! \cdot p!}$

Onde:

$C_n^p$ é o número de combinações;

$n$ representa quantos números podemos usar;

$p$ é o número de espaços a serem ocupados, nesse caso, 2.

Assim, se considerarmos apenas números entre 0 e 6, teremos 7 opções:

$C_7^2 = \dfrac{7!}{(7-2)! \cdot 2!}$

$C_7^2 = \dfrac{7!}{5! \cdot 2!}$

$C_7^2 = \dfrac{7 \cdot 6}{2}$

$C_7^2 = 21 \text{ possibilidades}$

Porém, esse número não inclui as peças cujos números são iguais: (0,0), (1,1), ...

Assim, precisamos somar mais 7: fazendo 28 pedras.

Agora, quando os números variam de zero a nove, teremos 10 algarismos. Assim:

$C_{10}^2 = \dfrac{10!}{(10-2)! \cdot 2!}$

$C_{10}^2 = \dfrac{10!}{8! \cdot 2!}$

$C_{10}^2 = \dfrac{10 \cdot 9}{2}$

$C_{10}^2 = 45 \text{ possibilidades}$

Somando as dez peças com dígitos repetidos:

p = 45 + 10 = 55 pedras