Assinale a alternativa que contenha o volume abaixo do cone z= raiz quadrada {x²+y²} e acima do disco D dado por x² + y² ≤ 4

Anexos:

michaelplatiny: Alguém pode ajudar ai??

acs2020: Alternativa 1: 16π/3

Respostas

respondido por: jonquartuccio

Resposta:

16π/3

Explicação passo a passo:

Primeira coisa, perceba que a equação z² = x² + y² pode ser reescrita na forma polar, usando o fato de que x = r cosΘe y = y sin Θ. Assim, reescrevemos a equação do cone como z² = (r cosΘ)² + (y sinΘ)², o que fornece z² = r²cos²Θ + r²sin²Θ = r²(cos²Θ + sin²Θ). Mas lembre-se que, pelas igualdades trigonométrica, o termo dentro dos parentesis é igual a 1. Portanto, obtemos

z² = r² ou z = $\sqrt{r^2}$

Agora basta inserirmos isso na integral dupla:

$V = \int\int\limits_{x^2+ y^2 \leq 4} {\sqrt{r^2}} \, da$

$V = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{2} \sqrt{r^2}rdrd\theta$

$V = \int_{0}^{2\pi} d\theta \int_{0}^{2} r rdr$

$V = \int_0^{2\pi}d\theta \int_0^2 r^2 dr$

Note que era raiz quadrada de r², logo sobra apenas o r, e por isso surgira uma multiplicação de r com rdr na integral acima. Atente que o limite da segunda integral vai de 0 até 2, uma vez que pela equação da circunferencia fica explicito que o raio vale 2. Agora a resolução dessa integral é trivial.

$V = 2\pi (\frac{r^3}{3}) = 2\pi (\frac{8}{3} ) = \frac{16\pi}{3}$

paulofaria07: Obrigado!

rodneigoncalves0: valeu

respondido por: ComandoAlfa

⇒ Aplicando nossos conhecimentos sobre Geometria Analítica no Espaço, concluímos que o volume pedido é 16π/3 .

Observe a figura em anexo. O volume pedido é volume do cilindro menos o volume do cone. O cone e o cilindro interceptam-se no plano $z=2$ , ou seja, é a altura $h$ do cone e do cilindro. Percebemos que o raio da base para o cilindro e o cone é $r=2$ .

∴ o volume procurado

$\large\begin{array}{l}=\pi r^{2} h-\frac{\pi r^{2} h}{3}\\\\=\frac{2\pi r^{2} h}{3}\\\\=\frac{2\pi \cdotp 2^{2} \cdotp 2}{3}\\\\=\frac{16\pi }{3}\end{array}$