Question

Questão 4) Sendo O o centro da circunferencia abaixo, determine a medida x do angulo PQR.​

Answer 1

A resposta é 40°.

Para demonstrar, primeiro traço os segmentos: $\overline{OQ}$ e $\overline{PR}$, fechando um losango, tal qual na primeira figura em anexo.

Vou começar analisando o triângulo $\triangle ORP$, na esquerda destacado em vermelho na segunda figura.

Pela Lei dos Cossenos:

$r^2 = r^2 + \overline{PR}^2 - 2 \cdot r \cdot \overline{PR} \cdot cos(\theta)$

Onde $\theta$ é o ângulo correspondente ao vértice P e $r$ é o raio da circunferência. Assim:

$\overline{PR}^2 = 2 \cdot r \cdot \overline{PR} \cdot cos(\theta)$

$\overline{PR} = 2 \cdot r \cdot cos(\theta)$

Ou:

$cos(\theta) = \dfrac{\overline{PR}}{2 \cdot r}$

Mas pela Lei dos Cossenos, também temos que:

$\overline{PR}^2 = r^2 + r^2 - 2 \cdot r \cdot r \cdot cos(80^o)$

$\overline{PR}^2 = 2 \cdot r^2 \cdot (1- cos(80^o))$

$\overline{PR} = \sqrt{2} \cdot r \cdot \sqrt{1- cos(80^o)}$

Assim:

$cos(\theta) = \dfrac{\sqrt{2} \cdot r \cdot \sqrt{1- cos(80^o)}}{2 \cdot r}$

$cos(\theta) = \dfrac{\sqrt{2} \cdot \sqrt{1- cos(80^o)}}{2}$

$cos(\theta) \approx 0,642787$

Com isso:

$\theta = arccos(0,642787) = 50^o$

Como a soma dos ângulos internos de um triângulo qualquer é sempre 180°, temos que:

$\angle P\hat{R}O = 180^o - 80^o - 50^o = 50^o$

Agora passamos a analisar o triângulo da direita, $\triangle ORQ$, como na terceira figura.

Pela Lei dos Senos, temos que:

$\dfrac{r}{sen(\alpha)} = \dfrac{r}{sen(\beta)} = \dfrac{\overline{RQ}}{sen(\gamma)}$

Isso significa que:

$\alpha = \beta$

Passemos agora ao triângulo inferior $\triangle POQ$, como na quarta figura. Aplicando a Lei dos Senos:

$\dfrac{r}{sen(\delta)} = \dfrac{r}{sen(\alpha - x)} = \dfrac{\overline{PQ}}{sen(80^o + \gamma)}$

Descobrimos que para isso ser verdade:

$\delta = \alpha - x$

Ok, olhemos agora para o triângulo superior, $\triangle PRQ$, cujo destaque aparece na quinta figura em anexo, já com as marcações atualizadas.

Como a soma dos ângulos internos de qualquer triângulo precisa ser igual à 180°, temos que:

$50^o - (\alpha - x) + 50^o + \alpha + x = 180^o$

$- \alpha + x + \alpha + x = 180^o - 100^o$

$2 \cdot x = 80^o$

$x = \dfrac{80^o}{2}$

$\boxed{x = 40^o}$