Question

Determine a soma das raízes da equação |x|²- |x| = 2.​

Answer 1

De acordo com os dados do enunciado concluímos que a solução é:

$\large \displaystyle \text { \mathsf{ S = \{ -\;2 , \: 2 \: \} } }$

Equações modulares são quelas em que aparecem módulos de

expressões que contêm incógnita.

Exemplo:

$\large \displaystyle \mathsf{ \bullet \:\: \mid x \mid = 5 }$

$\large \displaystyle \mathsf{ \bullet \:\: \mid x + 2\mid = x+ 3 }$

Algumas propriedades são importantes para aplicarmos em soluções de equações modulares.

$\large \displaystyle \text { \mathsf{ p_{1 \bullet} \: \: \mid x \mid = a \Leftrightarrow x = a \; \: ou \: \: x = -\:a } }$

$\large \displaystyle \text { \mathsf{ p_{2 \bullet} \: \: \mid x^2 \mid \: = \: \mid x \mid \: = x^{2} } }$

$\large \displaystyle \text { \mathsf{ p_{3 \bullet} \: \: \mid x \mid \: = \:\mid a \mid \:\Leftrightarrow \:x = a \; \: ou \: \: x = -\:a } }$

Dados fornecidos pelo enunciado:

$\large \displaystyle \mathsf{ \mid x \mid^2 - \mid x \mid = 2 }$

Fazendo $\textstyle \sf \sf \mid x \mid \: = \: y$ com $\textstyle \sf \sf y\: \geq \:0$ e temos:

$\large \displaystyle \mathsf{ y^2 -y = 2 }$

$\large \displaystyle \mathsf{ y^2 -y - 2 = 0 }$

$\large \displaystyle \text { \mathsf{ y = \dfrac{-\,b \pm \sqrt{b^{2} -\, 4ac } }{2a} } }$

$\large \displaystyle \text { \mathsf{ y = \dfrac{-\,(-1) \pm \sqrt{(-1)^{2} -\, 4 \cdot 1 \cdot (-2) } }{2\cdot 1} } }$

$\large \displaystyle \text { \mathsf{ y = \dfrac{1 \pm \sqrt{ 1 +8 } }{2} } }$

$\large \displaystyle \text { \mathsf{ y = \dfrac{1 \pm \sqrt{ 9 } }{2} } }$

$\large \displaystyle \text { \mathsf{ y = \dfrac{1 \pm 3}{2} \Rightarrow\begin{cases} \sf y_1 = &\sf \dfrac{1+ 3}{2} = \dfrac{4}{2} = \:2 \\\\ \sf y_2 = &\sf \dfrac{1 -3 }{2} = \dfrac{-2}{2} = - 1 \: n\tilde{a}o ~ serve\end{cases} } }$

Voltando a condição, temos:

$\large \displaystyle \mathsf{ \mid x \mid\: = \: y }$

$\large \displaystyle \mathsf{ \mid x \mid \: = \: 2 \Leftrightarrow x = 2 \: \: ou \:\: x = -\:2 }$

Portanto, a solução é:

$\Large \boldsymbol{ \displaystyle \sf S = \{ -\;2 , \: 2 \: \} }$

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Answer 2

A resposta é zero

Se x≥0  é a condição

x²-x=2

x²-x-2=0

x'=[1+√(1+8)]/2

x'=(1+3)/2=2

x''=[1-√(1+8)]/2

x''=(1-3)/2=-1 ..........(ñ serve,  condição x≥0)

Se x<0  é a condição)

x²-(-x)=2

x²+x-2=0

x'=[-1+√(1+8)]/2

x'=(-1+3)/2=1 ............(ñ serve, condição x<0)

x''=[-1-√(1+8)]/2

x''=(-1-3)/2=-2

 x=-2  e x=2  ==>soma= -2+2 = 0